Autoproblema não linear
Em matemática, um autoproblema não linear, às vezes um problema de autovalor não linear, é uma generalização do problema de autovalor (comum) para equações que dependem não linearmente do autovalor. Especificamente, refere-se a equações da forma
em que é um vetor, e é uma função a valores matriciais do número . O número é conhecido como o autovalor (não linear), o vetor como autovetor (não linear), e como um par próprio. A matriz é singular em um autovalor .
Definição
[editar | editar código-fonte]Na disciplina de álgebra linear numérica, normalmente é utilizada a seguinte definição.[1][2][3][4]
Seja , e seja uma função que leva escalares em matrizes. Um escalar é chamado de autovalor, e um vetor não nulo é chamado de autovetor à direita se . Além disso, um vetor não nulo é chamado de autovetor à esquerda se , onde o sobrescrito denota a transposição hermitiana. A definição de autovalor é equivalente a , em que denota o determinante.[1]
Geralmente exige-se que a função seja uma função holomorfa de (em algum domínio )
Em geral, poderia ser uma transformação linear, mas mais comumente é uma matriz de dimensão finita, geralmente quadrada.
Definição: O problema é considerado regular se existir algum tal que . Caso contrário, é considerado singular.[1][4]
Definição: diz-se que um autovalor tem multiplicidade algébrica se é o menor inteiro tal que a -ésima derivada de em relação a em é diferente de zero. Em fórmulas, isso significa que mas para .[1][4]
Definição: a multiplicidade geométrica de um autovalor é a dimensão do espaço nulo de .[1][4]
Casos especiais
[editar | editar código-fonte]Os exemplos a seguir são casos especiais do problema de autovalor não linear.
- O problema de autovalor (usual):
- O problema de autovalor generalizado:
- O problema de autovalor quadrático:
- O problema de autovalor polinomial:
- O problema de autovalor racional: em que são funções racionais.
- O problema de autovalor com atraso: em que são escalares dados, conhecidos como atrasos.
Cadeias de Jordan
[editar | editar código-fonte]Definição: Let um autopar. Uma tupla de vetores é chamada de cadeia de Jordan separa , em que denota a -ésima derivada de em relação a e avaliada em . Os vetores são chamados de autovetores generalizados, é chamado de comprimento da cadeia Jordan, e o comprimento máximo de uma cadeia Jordan começando com é chamado de rank de .[1][4]
Teorema:[1] Uma tupla de vetores é uma cadeia de Jordan se, e somente se, a função tem uma raiz em e a raiz é de multiplicidade pelo menos para , em que a função a valores vetoriais é definida como
Não linearidade de autovetor
[editar | editar código-fonte]A não linearidade de autovetores é uma forma de não linearidade relacionada, mas diferente, que às vezes é estudada. Neste caso, a função leva vetores em matrizes, ou às vezes matrizes hermitianas em matrizes hermitianas.[5][6]
Referências
[editar | editar código-fonte]- ↑ a b c d e f g Güttel, Stefan; Tisseur, Françoise (2017). «The nonlinear eigenvalue problem» (PDF). Acta Numerica (em inglês). 26: 1–94. ISSN 0962-4929. doi:10.1017/S0962492917000034
- ↑ Ruhe, Axel (1973). «Algorithms for the Nonlinear Eigenvalue Problem». SIAM Journal on Numerical Analysis. 10: 674–689. ISSN 0036-1429. JSTOR 2156278. doi:10.1137/0710059
- ↑ Mehrmann, Volker; Voss, Heinrich (2004). «Nonlinear eigenvalue problems: a challenge for modern eigenvalue methods». GAMM-Mitteilungen (em inglês). 27: 121–152. ISSN 1522-2608. doi:10.1002/gamm.201490007
- ↑ a b c d e Voss, Heinrich (2014). «Nonlinear eigenvalue problems». In: Hogben. Handbook of Linear Algebra 2 ed. Boca Raton, FL: Chapman and Hall/CRC. ISBN 9781466507289
- ↑ Jarlebring, Elias; Kvaal, Simen; Michiels, Wim (1 de janeiro de 2014). «An Inverse Iteration Method for Eigenvalue Problems with Eigenvector Nonlinearities». SIAM Journal on Scientific Computing. 36: A1978–A2001. ISSN 1064-8275. arXiv:1212.0417. doi:10.1137/130910014
- ↑ Upadhyaya, Parikshit; Jarlebring, Elias; Rubensson, Emanuel H. (2021). «A density matrix approach to the convergence of the self-consistent field iteration». Numerical Algebra, Control & Optimization. 11. 99 páginas. ISSN 2155-3297. doi:10.3934/naco.2020018
Leitura complementar
[editar | editar código-fonte]- Françoise Tisseur e Karl Meerbergen, "The quadratic eigenvalue problem," SIAM Review 43 (2), 235-286 (2001) (link).
- Gene H. Golub e Henk A. van der Vorst, "Eigenvalue computation in the 20th century," Journal of Computational and Applied Mathematics 123, 35-65 (2000).
- Philippe Guillaume, "Nonlinear eigenproblems," SIAM Journal on Matrix Analysis and Applications 20 (3), 575–595 (1999) (link).
- Cedric Effenberger, "Robust solution methods fornonlinear eigenvalue problems", tese de doutorado EPFL (2013) (link)
- Roel Van Beeumen, "Rational Krylov methods fornonlinear eigenvalue problems", tese de doutorado KU Leuven (2015) (link)