Em matemática, particularmente análise funcional, uma base Hilbertiana é uma generalização do conceito de base ortonormal num espaço de Hilbert. Quando lidando com espaços vetoriais de dimensão finita, é natural utilizar o conceito de base de Hamel e representar vetores como combinações lineares finitas de elementos dessa base. No entanto, no caso de um espaço de dimensão infinita, as bases de Hamel perdem consideravelmente sua utilidade, e, caso o espaço seja dotado de um produto interno cuja norma é completa (ou seja, caso ele for um espaço de Hilbert), as bases de Hilbert definem uma maneira mais eficiente de se decompor vetores.[1]
Sendo uma extensão para espaços de Hilbert da definição de base ortonormal, a base Hilbertiana tem seu nome devido a David Hilbert, matemático alemão que introduziu esse tipo de espaço pela primeira vez.
Seja
um espaço de Hilbert. Um subconjunto
de
é dito ser uma base Hilbertiana de
se[1]
é um conjunto ortonormal, ie,
, para todos
;
- o conjunto gerador por
for denso em
, ie,
.
Para uma família
ortonormal (ou seja, satisfazendo a propriedade 1) algumas definições equivalentes à acima são[1]
- Para todo
vale a identidade de Perseval :
;
- Para todo
vale que
;
![{\displaystyle (x_{i})_{i\in I}^{\perp }=\{0\}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4ff6d747948bd372a6bd43019112dadc1a5a03b4)
Seja
uma família de vetores de um espaço normado
. Suponha que o conjunto
dos elementos de
que são não nulos é finito ou infinito e enumerável.
Se
é finito e
=
, definimos
Se
é enumerável,
é uma enumeração de
e a série
converge comutativamente, definimos
.
Sejam
um espaço de Hilbert,
uma família ortonormal de
e
um elemento de
. Os coeficientes de Fourier de
em relação à família
são os números da forma
onde
Podemos provar que o conjunto dos coeficientes de Fourier de
em relação a
que são não nulos é finito ou infinito e enumerável, que as somas
e
estão bem definidas e que vale a desigualdade de Bessel :
.
- Todo espaço de Hilbert admite uma Base Hilbertiana.
- Um espaço de Hilbert de dimensão infinita é separável se e só se admite uma base Hilbertiana enumerável.
[2]
[3]
[1]
- ↑ a b c d Botelho, Pellegrino, Teixeira, Geraldo, Daniel, Eduardo. Fundamentos de Análise Funcional. [S.l.: s.n.]
- ↑ Lax, Peter. Functional Analysis. [S.l.: s.n.]
- ↑ Kreyszig, Erwin. Introductory Functional Analysis with Applications. [S.l.: s.n.]