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Matriz bidiagonal

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Em matemática, uma matriz bidiagonal é uma matriz banda com entradas diferentes de zero ao longo da diagonal principal e na diagonal acima ou na diagonal abaixo. Isso significa que há exatamente duas diagonais diferentes de zero na matriz.

Quando a diagonal acima da diagonal principal tem entradas diferentes de zero, a matriz é bidiagonal superior. Quando a diagonal abaixo da diagonal principal tem entradas diferentes de zero, a matriz é bidiagonal inferior.

Por exemplo, a matriz a seguir é bidiagonal superior:

e a seguinte matriz é bidiagonal inferior:

Uma variante do algoritmo QR começa com a redução de uma matriz geral em uma bidiagonal,[1] e a decomposição de valor singular usa esse método também.

Bidiagonalização

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A bidiagonalização é uma das decomposições matriciais unitárias (ortogonais) tais que , onde e são matrizes unitárias (ortogonais); denota transposição hermitiana; e é bidiagonal superior. pode ser retangular.

Para matrizes densas, as matrizes unitárias esquerda e direita são obtidas por uma série de reflexões de Householder aplicadas alternadamente da esquerda e da direita. Isso é conhecido como bidiagonalização Golub-Kahan. Para matrizes grandes, eles são calculados iterativamente usando o método Lanczos, conhecido como método Golub-Kahan-Lanczos.

A bidiagonalização tem uma estrutura muito semelhante à decomposição de valores singulares (SVD). No entanto, é calculada dentro de operações finitas, enquanto SVD requer esquemas iterativos para encontrar valores singulares. É porque os valores singulares ao quadrado são as raízes dos polinômios característicos de , onde é considerado alto.

Referências

  1. Bochkanov Sergey Anatolyevich. ALGLIB User Guide - General Matrix operations - Singular value decomposition . ALGLIB Project. 2010-12-11. URL:http://www.alglib.net/matrixops/general/svd.php. Accessed: 2010-12-11. (Archived by WebCite at https://www.webcitation.org/5utO4iSnR)

Ligações externas

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