Círculo mixtilinear de um triângulo

Em geometria, um círculo mixtilinear de um triângulo é um círculo tangente a dois dos seus lados e tangente internamente ao seu círculo circunscrito. Cada triângulo possui três círculos mixtilíneos exclusivos, correspondendo a cada vértice do triângulo.

$A$-Círculo interno mixtilinear do triângulo $ABC$

Existência e singularidade

Provamos a existência de apenas um dos três círculos mixtilineares por simetria. O círculo A-exinscrito (tangente externamente ao lado BC) do triângulo $ABC$ é único.

Seja $\Phi$ a composta da inversão do pólo A e razão ${\sqrt {AB\ cdotAC}}$, e a reflecção em relação à mediatriz em A. $\Phi$ troca os vértices A e A e troca o centro do círculo inscrito pelo centro do círculo ex-inscrito em A. Como a inversão e a reflexão são bijectivos e preservam os pontos de contacto, $\Phi$ faz o mesmo. Assim, a imagem do círculo A-exscrita em $\Phi$ é um círculo tangente internamente aos lados AB, AC e ao círculo circunscrito de ' 'ABC' , é um círculo mixtilinear inscrito em A.

A mesma aplicação $\Phi$ aplicada a um círculo mixtilinear associado ao vértice A mostra que este é único