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Circulo de Curvatura

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Um círculo osculante
Círculos osculantes da espiral arquimediana, aninhados pelo teorema de Tait-Kneser . "A espiral em si não é desenhada: nós a vemos como o espaço geométrico dos pontos onde os círculos estão especialmente próximos um do outro".[1]

Na geometria diferencial das curvas, o círculo osculador de uma curva plana suave em um dado ponto p na curva é definido como o círculo que passa por p e um par de pontos adicionais na curva infinitamente próximo de p . Seu centro fica na linha normal interna e sua curvatura define a curvatura da curva especificada nesse ponto. Esse círculo, que é aquele entre todos os círculos tangentes no ponto em que se aproxima mais da curva, foi nomeado circulus osculans (latim para "círculo do beijo") por Leibniz .

O centro e o raio do círculo osculante em um determinado ponto são chamados de centro de curvatura e raio de curvatura naquela determinado ponto.

Descrição em termos leigos

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Imagine um carro se movendo ao longo de uma estrada curva em um plano. De repente, em um ponto da estrada, o volante trava. Depois disso, o carro se move em um círculo que "beija" a estrada até ponto de tranvar. A curvatura do círculo é igual à da estrada naquele ponto. Esse círculo é o círculo osculante da curva da estrada naquele ponto.

Descrição matemática

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Representação em imagem do círculo osculante, nome dado ao raio da esfera.

Sendo ( s ) uma curva plana paramétrica regular, onde s é o comprimento do arco (o parâmetro natural ). Isso determina o vetor tangencial unitário T ( s ), o vetor normal unitário N ( s ), a curvatura k (s ) e o raio da curvatura R (s ) em cada ponto para o qual s é composto:

Suponha que P seja um ponto em γ onde k ≠ 0. O centro de curvatura será o ponto Q a uma distância R ao longo de N, na mesma direção se k for positivo e na direção oposta se k for negativo. O círculo com centro em Q e com raio R é chamado de círculo osculante da curva γ no ponto P.

Se C é uma curva espacial regular, o círculo osculante é definido de maneira semelhante, usando o vetor normal principal N. Encontra-se no plano osculante, o plano medido pelos vetores normais tangentes e principais T e N no ponto P.

A curva plana também pode ser dada por uma parametrização regular diferente

onde regular significa que para todos . Em seguida, as fórmulas para a curvatura k ( t ), o vetor unitário normal N ( t ), o raio da curvatura R ( t ) e o centro Q ( t ) do círculo osculante são

Coordenadas cartesianas

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Podemos obter o centro do círculo osculante em coordenadas cartesianas se substituirmos e para alguma função f . Se fizermos os cálculos, os resultados para as coordenadas X e Y do centro do círculo osculante são:

Para uma curva C dada por equações paramétricas suficientemente suaves (duas vezes continuamente diferenciáveis), o círculo osculante pode ser obtido por um procedimento limitador: é o limite dos círculos que passam por três pontos distintos em C quando esses pontos se aproximam de P. [2] Isso é totalmente análogo à construção da tangente a uma curva como um limite das linhas secantes através de pares de pontos distintos em C se aproximando de P.

O círculo osculante S para uma curva plana C em um ponto regular P pode ser caracterizado pelas seguintes propriedades:

  • O círculo S passa por P.
  • O círculo S e a curva C têm a linha tangente comum em P e, portanto, a linha normal comum.
  • Perto de P, a distância entre os pontos da curva C e o círculo S na direção normal decai à medida do cubo ou uma potência maior da distância a P na direção tangencial.

Isso geralmente é expresso como "a curva e seu círculo osculatório têm o contato de segunda ou maior ordem" em P. Em termos gerais, as funções vetoriais que representam C e S concordam com suas primeira e segunda derivadas em P.

Se a derivada da curvatura em relação a s for diferente de zero em P, o círculo osculante cruza a curva C em P. Os pontos P nos quais a derivada da curvatura é zero são chamados vértices . Se P é um vértice, C e seu círculo osculatório têm contato de ordem pelo menos três. Além disso, se a curvatura tem um máximo ou mínimo local diferente de zero em P, o círculo osculante toca a curva C em P, mas não a atravessa.

A curva C pode ser obtida como o envelope da família de um parâmetro de seus círculos osculantes. Seus centros, isto é, os centros de curvatura, formam outra curva, chamada evolução de C. Os vértices de C correspondem a pontos singulares em sua evolução.

Em qualquer arco de uma curva C, dentro do qual a curvatura é monotônica (ou seja, longe de qualquer vértice da curva), os círculos osculantes são todos disjuntos e aninhados um no outro. Este resultado é conhecido como o teorema de Tait-Kneser .[1]

O círculo osculante da parábola em seu vértice tem raio de 0,5 e contato de quarta ordem.

Para a parábola

o raio de curvatura é

No vértice o raio de curvatura é igual a R (0) = 0,5 (veja a figura). A parábola tem contato de quarta ordem com seu círculo osculante. Para um t grande, o raio de curvatura aumenta ~ t 3, ou seja, a curva se endireita cada vez mais.

Curva de Lissajous

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Animação do círculo osculante para uma curva de Lissajous
Animação do círculo osculante para uma curva de Lissajous

Uma curva de Lissajous com razão de frequências (3: 2) pode ser parametrizada da seguinte forma

Tem curvatura k ( t ), vetor unitário normal N ( t ) e raio de curvatura R ( t ) dado por

Veja a figura para uma animação. Lá, o "vetor de aceleração" é a segunda derivada em relação ao comprimento do arco .

Ciclóide (azul), seu círculo osculante (vermelho) e evoluir (verde).

Um ciclóide com raio de r pode ser parametrizado da seguinte forma:

Sua curvatura é dada pela seguinte fórmula:[3]

que dá:

Leitura adicional

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Para algumas notas históricas sobre o estudo da curvatura, consulte

Para aplicação em veículos de manobra, consulte

Referências

  1. a b «Osculating curves: around the Tait-Kneser theorem». The Mathematical Intelligencer. 35: 61–66. 2013. MR 3041992. arXiv:1207.5662Acessível livremente. doi:10.1007/s00283-012-9336-6 
  2. Actually, point P plus two additional points, one on either side of P will do. See Lamb (on line): Horace Lamb (1897). An Elementary Course of Infinitesimal Calculus. University Press. [S.l.: s.n.] osculating circle. 
  3. Weisstein, Eric W. «Cycloid». MathWorld (em inglês) 

Ligações externas

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