Casos de congruência de triângulos (ou simplesmente, congruência triangular ) são critérios creditados a Tales de Mileto [ 1] , dados a dois ou mais triângulos para estabelecer que estes são congruentes (podendo dizer que são idênticos, ou seja, com todas as medidas iguais). Há cinco conhecidos casos de congruência triangular :
Dois triângulos congruentes.
Um triângulo é congruente (símbolo
≡
{\displaystyle \equiv }
) a outro se, e somente se, é possível estabelecer uma correspondência entre seus vértices de modo que:
Na figura ao lado temos dois triângulos congruentes .
Assim, pela definição de triângulos congruentes temos:[ 2]
△
ABC
≡
△
A'B'C'
⟺
{
AB
¯
≡
A'B'
¯
AC
¯
≡
A'C'
¯
BC
¯
≡
B'C'
¯
e
A
^
≡
A
′
^
B
^
≡
B
′
^
C
^
≡
C
′
^
{\displaystyle \triangle {\text{ABC}}\equiv {\triangle {\text{A'B'C'}}}\quad \Longleftrightarrow \quad {\begin{cases}{\overline {\text{AB}}}\equiv {\overline {\text{A'B'}}}\\{\overline {\text{AC}}}\equiv {\overline {\text{A'C'}}}\\{\overline {\text{BC}}}\equiv {\overline {\text{B'C'}}}\end{cases}}\qquad {\text{e}}\qquad {\begin{matrix}{\hat {A}}\equiv {\hat {A'}}\\{\hat {B}}\equiv {\hat {B'}}\\{\hat {C}}\equiv {\hat {C'}}\end{matrix}}}
A congruência entre triângulos é reflexiva, simétrica e transitiva.[ 2]
Essas propriedades, de reflexão, simetria e transitividade na congruência de triângulos podem expressas da seguinte forma:
Todo triângulo é congruente a si mesmo (reflexiva) :
△
ABC
≡
△
ABC
{\displaystyle \triangle {\text{ABC}}\equiv \triangle {\text{ABC}}}
.
Se um triângulo é congruente a outro, então este outro é congruente ao primeiro (simétrica) :
△
ABC
≡
△
DEF
⇒
△
DEF
≡
△
ABC
{\displaystyle \triangle {\text{ABC}}\equiv \triangle {\text{DEF}}\Rightarrow \triangle {\text{DEF}}\equiv \triangle {\text{ABC}}}
.
Se um triângulo é congruente a outro e este outro é congruente a um terceiro triângulo , então o primeiro triângulo é congruente ao terceiro (transitiva) :
△
ABC
≡
△
DEF
e
△
DEF
≡
△
GHI
⇒
△
ABC
≡
△
GHI
{\displaystyle \triangle {\text{ABC}}\equiv \triangle {\text{DEF}}\quad {\text{e}}\quad \triangle {\text{DEF}}\equiv \triangle {\text{GHI}}\quad \Rightarrow \quad \triangle {\text{ABC}}\equiv \triangle {\text{GHI}}}
A definição de congruência de triângulos dá todas as condições que devem ser satisfeitas para que dois triângulos sejam congruentes . Existem o que podemos chamar de "condições mínimas" para que dois triângulos sejam congruentes . Essas condições são chamadas casos ou critérios de congruência .
Esse caso pode ser expresso da seguinte forma:
"Se dois triângulos têm ordenadamente congruentes dois lados e o ângulo compreendido entre eles, então esses triângulos são congruentes."
Esta proposição é um postulado (aceito sem demonstração ) e indica que, se dois triângulos têm ordenadamente congruentes dois lados e o ângulo compreendido entre eles, então o lado restante e os outros dois ângulos restantes também são ordenadamente congruentes .
Esse caso pode ser expresso da seguinte forma:
Imagem de suporte para demonstração.
"Se dois triângulos têm ordenadamente congruentes um lado e os dois ângulos a ele adjacentes, então esses triângulos são congruentes."
Diferente do caso
L
A
L
{\displaystyle LAL}
, essa proposição não é um postulado . Para podermos aplicá-la, precisamos fazer sua demonstração .
Para provar esse caso de congruência , vamos, primeiramente, enunciá-lo na forma de um teorema utilizando as informações geométricas da figura ao lado:
Sejam os triângulos
△
ABC
{\textstyle \triangle {\text{ABC}}}
e
△
A'B'C'
{\textstyle \triangle {\text{A'B'C'}}}
, vamos demonstrar que:
B
^
≡
B
′
^
e
B
C
¯
≡
B
′
C
′
¯
e
C
^
≡
C
′
^
⟹
△
ABC
≡
△
A'B'C'
{\displaystyle {\hat {B}}\equiv {\hat {B'}}\quad {\text{e}}\quad {\overline {BC}}\equiv {\overline {B'C'}}\quad {\text{e}}\quad {\hat {C}}\equiv {\hat {C'}}\qquad \Longrightarrow \qquad \triangle {\text{ABC}}\equiv \triangle {\text{A'B'C'}}}
Imagem suporte para demonstração
Para fazer essa demonstração , partiremos da hipótese e buscaremos provar que
B
A
¯
≡
B
′
A
′
¯
{\displaystyle {\overline {BA}}\equiv {\overline {B'A'}}}
, de modo a cair no caso de congruência
L
A
L
{\displaystyle LAL}
.
Pelo postulado do transporte de segmentos , podemos obter na semirreta
B
′
A
′
→
{\displaystyle {\overrightarrow {B'A'}}}
um ponto
X
{\displaystyle X}
tal que
B
′
X
¯
≡
B
A
¯
{\displaystyle {\overline {B'X}}\equiv {\overline {BA}}}
.
Assim, dessa construção, temos que o triângulo
△
ABC
{\displaystyle \triangle {\text{ABC}}}
é congruente ao triângulo
△
XB'C'
{\displaystyle \triangle {\text{XB'C'}}}
. Isso pode ser enunciado da seguinte forma:
B
C
¯
≡
B
′
C
′
¯
e
B
^
≡
B
′
^
e
B
A
¯
≡
B
′
X
¯
⇒
△
ABC
≡
△
XB'C'
(
L
A
L
)
⟹
B
C
^
A
≡
B
′
C
′
^
X
{\displaystyle {\overline {BC}}\equiv {\overline {B'C'}}\quad {\text{e}}\quad {\hat {B}}\equiv {\hat {B'}}\quad {\text{e}}\quad {\overline {BA}}\equiv {\overline {B'X}}\qquad \Rightarrow \qquad \triangle {\text{ABC}}\equiv \triangle {\text{XB'C'}}\left(LAL\right)\qquad \Longrightarrow {B{\hat {C}}A}\equiv {B'{\hat {C'}}X}}
.
Utilizando essas informações, voltaremos a nossa hipótese . Por hipótese temos que
B
C
^
A
≡
B
′
C
′
^
A
′
{\displaystyle B{\hat {C}}A\equiv {B'{\hat {C'}}A'}}
e agora temos que
B
C
^
A
≡
B
′
C
′
^
X
{\displaystyle B{\hat {C}}A\equiv {B'{\hat {C'}}X}}
.
Observaremos que, através dessa informações, temos que as retas
B
′
A
′
↔
{\displaystyle {\overleftrightarrow {B'A'}}}
e
C
′
X
↔
{\displaystyle {\overleftrightarrow {C'X}}}
se interceptam em um único ponto, que é o ponto
X
{\displaystyle X}
.
Da mesma forma, temos também que as retas
B
′
A
′
↔
{\displaystyle {\overleftrightarrow {B'A'}}}
e
C
′
A
′
↔
{\displaystyle {\overleftrightarrow {C'A'}}}
também se interceptam em um único ponto, que é o ponto
A
′
{\displaystyle A'}
.
Assim, pelo postulado do transporte de ângulos e pelas congruências
B
C
^
A
≡
B
′
C
′
^
A
′
{\displaystyle B{\hat {C}}A\equiv {B'{\hat {C'}}A'}}
e
B
C
^
A
≡
B
′
C
′
^
X
{\displaystyle B{\hat {C}}A\equiv {B'{\hat {C'}}X}}
, temos que os pontos
X
{\displaystyle X}
e
A
′
{\displaystyle A'}
são coincidentes.
Logo, como
X
≡
A
′
{\displaystyle X\equiv {A'}}
e
B
′
X
¯
≡
B
A
¯
{\displaystyle {\overline {B'X}}\equiv {\overline {BA}}}
, implica
B
′
A
′
¯
≡
B
A
¯
{\displaystyle {\overline {B'A'}}\equiv {\overline {BA}}}
.
Com essa última informação caímos no primeiro caso de congruência (
L
A
L
{\displaystyle LAL}
) e demonstramos que:
B
^
≡
B
′
^
e
B
C
¯
≡
B
′
C
′
¯
e
C
^
≡
C
′
^
⟹
△
ABC
≡
△
A'B'C'
{\displaystyle {\hat {B}}\equiv {\hat {B'}}\quad {\text{e}}\quad {\overline {BC}}\equiv {\overline {B'C'}}\quad {\text{e}}\quad {\hat {C}}\equiv {\hat {C'}}\qquad \Longrightarrow \qquad \triangle {\text{ABC}}\equiv \triangle {\text{A'B'C'}}}
.
Logo, se dois triângulos têm ordenadamente congruentes um lado e os dois ângulos a ele adjacentes, então esses triângulos são congruentes .
Esse caso pode ser expresso da seguinte forma:
Visualização do caso de congruência triangular lado-lado-lado
"Se dois triângulos têm ordenadamente os três lados respectivos congruentes, então esses dois triângulos são congruentes."
Observe os dois triângulos ao lado. O triângulos
△
A
B
C
{\displaystyle \triangle {ABC}}
e
△
A
′
B
′
C
′
{\displaystyle \triangle {A'B'C'}}
possuem seus respectivos lados congruentes . Isso implica que os dois triângulos são congruentes .
Isso pode ser enunciado da seguinte forma:
A
B
¯
≡
A
′
B
′
¯
e
B
C
¯
≡
B
′
C
′
¯
e
A
C
¯
≡
A
′
C
′
¯
⟹
△
A
B
C
≡
△
A
′
B
′
C
′
{\displaystyle {\overline {AB}}\equiv {\overline {A'B'}}\quad {\text{e}}\quad {\overline {BC}}\equiv {\overline {B'C'}}\quad {\text{e}}\quad {\overline {AC}}\equiv {\overline {A'C'}}\qquad \Longrightarrow \qquad \triangle {ABC}\equiv \triangle {A'B'C'}}
Diferente do caso
L
A
L
{\displaystyle LAL}
, essa proposição não é um postulado . Para podermos aplicá-la precisamos fazer sua demonstração .[ 2]
Imagem suporte para demonstração
Precisamos mostrar que, se dois triângulos têm ordenadamente congruentes os três lados, então esses triângulos são congruentes .
Para isso, vamos, primeiramente, enunciar esse teorema com notação matemática adequada.
A
B
¯
≡
A
′
B
′
¯
e
A
C
¯
≡
A
′
C
′
¯
e
B
C
¯
≡
B
′
C
′
¯
⟹
△
A
B
C
≡
△
A
′
B
′
C
′
{\displaystyle {\overline {AB}}\equiv {\overline {A'B'}}\quad {\text{e}}\quad {{\overline {AC}}\equiv {\overline {A'C'}}}\quad {\text{e}}\quad {{\overline {BC}}\equiv {\overline {B'C'}}}\qquad \Longrightarrow \qquad {\triangle {ABC}}\equiv {\triangle {A'B'C'}}}
Para prosseguir, utilizaremos o postulado do transporte de ângulos e o postulado do transporte de segmentos de modo a obter um ponto
X
{\displaystyle X}
no semiplano oposto ao de
C
′
{\displaystyle C'}
em relação à reta
A
′
B
′
↔
{\displaystyle {\overleftrightarrow {A'B'}}}
, tal que
X
A
′
^
B
′
≡
C
A
^
B
{\displaystyle X{\hat {A'}}B'\equiv {C{\hat {A}}B}}
e
A
′
X
¯
≡
A
C
¯
{\displaystyle {\overline {A'X}}\equiv {\overline {AC}}}
Imagem suporte para demonstração
Assim, através dessa última relação, podemos perceber, por transitividade, que
A
′
X
¯
≡
A
′
C
′
¯
{\displaystyle {\overline {A'X}}\equiv {\overline {A'C'}}}
(uma vez que
A
′
X
¯
≡
A
C
¯
≡
A
′
C
′
¯
{\displaystyle {\overline {A'X}}\equiv {\overline {AC}}\equiv {\overline {A'C'}}}
).
Dessas informações, temos a congruência dos triângulos
△
A
B
C
{\displaystyle \triangle {ABC}}
e
△
A
′
B
′
X
{\displaystyle \triangle {A'B'X}}
:
A
B
¯
≡
A
′
B
′
¯
e
X
A
^
B
≡
C
A
^
B
e
A
′
X
¯
≡
A
C
¯
(
L
A
L
)
⟹
△
A
B
C
≡
△
A
′
B
′
X
{\displaystyle {\overline {AB}}\equiv {\overline {A'B'}}\quad {\text{e}}\quad {{X{\hat {A}}B}\equiv {C{\hat {A}}B}}\quad {\text{e}}\quad {{\overline {A'X}}\equiv {\overline {AC}}}\qquad \left(LAL\right)\Longrightarrow \qquad {\triangle {ABC}}\equiv {\triangle {A'B'X}}}
.
Dessa congruência temos que
X
B
′
¯
≡
C
B
¯
{\displaystyle {\overline {XB'}}\equiv {\overline {CB}}}
e
X
B
′
¯
≡
C
′
B
′
¯
{\displaystyle {\overline {XB'}}\equiv {\overline {C'B'}}}
.
A partir dessas relações podemos ver que os triângulos
△
A
′
C
′
X
{\displaystyle \triangle {A'C'X}}
e
△
B
′
C
′
X
{\displaystyle \triangle {B'C'X}}
são triângulos isósceles , ambos de base
C
′
X
¯
{\displaystyle {\overline {C'X}}}
.
Tomando um ponto
D
{\displaystyle D}
, que seja o ponto de intersecção de
C
′
X
¯
{\displaystyle {\overline {C'X}}}
com a reta
A
′
B
′
↔
{\displaystyle {\overleftrightarrow {A'B'}}}
, temos as seguintes congruências , que ocorrem entre os ângulos da base dos triângulos isósceles :
A
′
C
′
^
D
≡
A
′
X
^
D
e
D
C
′
^
B
′
≡
D
X
^
B
′
{\displaystyle A'{\hat {C'}}D\equiv {A'{\hat {X}}D}\quad {\text{e}}\quad {D{\hat {C'}}B'}\equiv {D{\hat {X}}B'}}
.
Através dessas relações entre os ângulos temos que:
A
′
C
′
^
B
′
=
A
′
C
′
^
D
+
D
C
′
^
B
′
{\displaystyle A'{\hat {C'}}B'=A'{\hat {C'}}D+D{\hat {C'}}B'}
e
A
′
X
^
B
′
=
A
′
X
^
D
+
D
X
^
B
′
=
A
′
C
′
^
D
+
D
C
′
^
B
′
{\displaystyle A'{\hat {X}}B'=A'{\hat {X}}D+D{\hat {X}}B'=A'{\hat {C'}}D+D{\hat {C'}}B'}
Assim vemos que
A
′
C
′
^
B
′
≡
A
′
X
^
B
′
{\displaystyle A'{\hat {C'}}B'\equiv {A'{\hat {X}}B'}}
.
Assim, temos a congruência entre os triângulos
△
A
′
B
′
C
′
{\displaystyle \triangle {A'B'C'}}
e
△
A
′
B
′
X
{\displaystyle \triangle {A'B'X}}
pelo caso
L
A
L
{\displaystyle LAL}
:
A
′
C
′
¯
≡
A
′
X
¯
e
A
′
C
′
^
B
′
≡
A
′
X
^
B
′
e
C
′
B
′
¯
≡
X
B
′
¯
(
L
A
L
)
⟹
△
A
′
B
′
C
′
≡
△
A
′
B
′
X
{\displaystyle {\overline {A'C'}}\equiv {\overline {A'X}}\quad {\text{e}}\quad {A'{\hat {C'}}B'\equiv {A'{\hat {X}}B'}}\quad {\text{e}}\quad {{\overline {C'B'}}\equiv {\overline {XB'}}\quad \left(LAL\right)\qquad \Longrightarrow }\qquad \triangle {A'B'C'}\equiv \triangle {A'B'X}}
Temos então que
△
A
B
C
≡
△
A
′
B
′
X
≡
△
A
′
B
′
C
′
{\displaystyle \triangle {ABC}\equiv \triangle {A'B'X}\equiv \triangle {A'B'C'}}
. Por transitividade, temos que
△
A
B
C
≡
△
A
′
B
′
C
′
{\displaystyle \triangle {ABC}\equiv {\triangle {A'B'C'}}}
.
Logo, se dois triângulos têm três lados respectivos congruentes , então esses triângulos são congruentes .[ 2]
Esse caso é um caso particular do
L
L
L
{\textstyle LLL}
e pode ser expresso da seguinte forma:
Caso de congruência cateto-hipotenusa.
"Se dois triângulos retângulos têm congruentes um cateto e a hipotenusa, então esses triângulos são congruentes."
A demonstração desse resultado consiste em provar que, na verdade, esse caso é um caso especial de
L
L
L
{\textstyle LLL}
.
Vamos demonstrar que se dois triângulos retângulos têm congruentes um cateto e a hipotenusa , então esses triângulos são congruentes .
Para isso, sejam dados o triângulo retângulo
△
A
B
C
{\textstyle \triangle {ABC}}
, com hipotenusa medindo
a
{\textstyle a}
e catetos medindo
b
{\textstyle b}
e
c
{\textstyle c}
, e o triângulo retângulo
△
A
′
B
′
C
′
{\textstyle \triangle {A'B'C'}}
, com hipotenusa medindo
a
′
{\textstyle a'}
e catetos medindo
b
′
{\textstyle b'}
e
c
′
{\textstyle c'}
. Por hipótese temos
a
=
a
′
{\textstyle a=a'}
e, sem perda de generalidade,
b
=
b
′
{\textstyle b=b'}
. Então, do teorema de Pitágoras , temos:
a
2
=
b
2
+
c
2
{\displaystyle a^{2}=b^{2}+c^{2}}
e
(
a
′
)
2
=
(
b
′
)
2
+
(
c
′
)
2
{\displaystyle (a')^{2}=(b')^{2}+(c')^{2}}
donde, obtemos
b
2
+
c
2
=
(
b
′
)
2
+
(
c
′
)
2
{\textstyle b^{2}+c^{2}=(b')^{2}+(c')^{2}}
e, como assumimos
b
=
b
′
{\textstyle b=b'}
, temos
c
=
c
′
{\textstyle c=c'}
. Isto implica os triângulos dados são congruentes , pelo caso
L
L
L
{\displaystyle LLL}
. Logo, se dois triângulos retângulos têm congruentes um cateto e a hipotenusa , então esses triângulos são congruentes .[ 2]
Visualização do caso de congruência
L
A
A
o
{\displaystyle LAA_{o}}
Esse caso pode ser expresso da seguinte forma:
"Se dois triângulos têm ordenadamente um lado, um ângulo adjacente e o ângulo oposto a esse lado, então esses triângulos são congruentes."
Esse caso de congruência não é um postulado . Portanto, para aplicá-lo, precisamos fazer sua demonstração .
Primeiramente, para fazer essa demonstração , vamos enunciar esse caso de congruência sob a forma de um teorema , utilizando notação matemática adequada.
A
C
¯
≡
A
′
C
′
¯
e
C
A
^
B
≡
C
′
A
′
^
B
′
e
A
B
^
C
≡
A
′
B
′
^
C
′
⟹
△
A
B
C
≡
△
A
′
B
′
C
′
{\displaystyle {\overline {AC}}\equiv {\overline {A'C'}}\quad {\text{e}}\quad {C{\hat {A}}B}\equiv {C'{\hat {A'}}B'}\quad {\text{e}}\quad {A{\hat {B}}C}\equiv {A'{\hat {B'}}C'}\qquad \Longrightarrow \qquad {\triangle {ABC}}\equiv {\triangle {A'B'C'}}}
Partindo-se da nossa hipótese, podemos observar que há três possibilidades de relações existentes entre os segmentos
A
B
¯
{\displaystyle {\overline {AB}}}
e
A
′
B
′
¯
{\displaystyle {\overline {A'B'}}}
. Faremos a demonstração a partir de cada uma dessas possibilidades.
1°
A
B
¯
≡
A
′
B
′
¯
{\displaystyle {\overline {AB}}\equiv {\overline {A'B'}}}
Nesse primeiro caso podemos facilmente demonstrar a congruência dos triângulos , uma vez que acabamos por cair no caso de congruência
L
A
L
{\displaystyle LAL}
, pois:
A
C
¯
≡
A
′
C
′
¯
e
A
^
≡
A
′
^
e
A
B
¯
≡
A
′
B
′
¯
⟹
△
A
B
C
≡
△
A
′
B
′
C
′
{\displaystyle {\overline {AC}}\equiv {\overline {A'C'}}\quad {\text{e}}\quad {\hat {A}}\equiv {\hat {A'}}\quad {\text{e}}\quad {\overline {AB}}\equiv {\overline {A'B'}}\qquad \Longrightarrow \qquad {\triangle {ABC}\equiv {\triangle {A'B'C'}}}}
.
Assim, nessa primeira possibilidade vemos que os dois triângulos são congruentes .
2° possibilidade. 2°
A
B
¯
<
A
′
B
′
¯
{\displaystyle {\overline {AB}}<{\overline {A'B'}}}
Como estamos partindo dessa relação acima como sendo verdadeira, tomaremos um ponto
D
{\displaystyle D}
sobre a semirreta
A
B
→
{\displaystyle {\overrightarrow {AB}}}
e externo ao segmento
A
B
¯
{\displaystyle {\overline {AB}}}
de tal modo que
A
D
¯
≡
A
′
B
′
¯
{\displaystyle {\overline {AD}}\equiv {\overline {A'B'}}}
.
Se fizermos isso, teremos que os triângulos
△
A
C
D
{\displaystyle \triangle {ACD}}
e
△
A
′
B
′
C
′
{\displaystyle \triangle {A'B'C'}}
são congruentes pelo caso de congruência
L
A
L
{\displaystyle LAL}
, pois:
A
C
¯
≡
A
′
C
′
¯
e
A
^
≡
A
′
^
e
A
D
¯
≡
A
′
B
′
¯
⟹
△
A
D
C
≡
△
A
′
B
′
C
′
{\displaystyle {\overline {AC}}\equiv {\overline {A'C'}}\quad {\text{e}}\quad {\hat {A}}\equiv {\hat {A'}}\quad {\text{e}}\quad {\overline {AD}}\equiv {\overline {A'B'}}\qquad \Longrightarrow \qquad {\triangle {ADC}\equiv \triangle {A'B'C'}}}
Essa relação implica que
B
^
≡
D
^
{\displaystyle {\hat {B}}\equiv {\hat {D}}}
, por transitividade. Essa relação contradiz a nossa hipótese , através do teorema do ângulo externo , que diz que o ângulo externo de um triângulo é maior do que qualquer ângulo interno não adjacente. Assim, vemos que o ângulo externo ao
△
B
D
C
{\displaystyle \triangle {BDC}}
no vértice
D
{\displaystyle D}
deve ser maior que o ângulo
C
B
^
D
{\displaystyle C{\hat {B}}D}
. Porém, vemos que esses dois ângulos são congruentes .
Assim, vemos que essa segunda possibilidade não ocorrerá e podemos, portanto, descartá-la.
3°
A
B
¯
>
A
′
B
′
¯
{\displaystyle {\overline {AB}}>{\overline {A'B'}}}
3° possibilidade
Essa possibilidade pode ser anulada da mesma forma que a anterior. Para isso basta apenas tomar o ponto
D
{\displaystyle D}
estando sob o segmento
A
B
¯
{\displaystyle {\overline {AB}}}
, de modo que
A
D
¯
≡
A
′
B
′
¯
{\displaystyle {\overline {AD}}\equiv {\overline {A'B'}}}
.
Com isso podemos verificar que os triângulos
△
A
C
D
{\displaystyle \triangle {ACD}}
e
△
A
′
B
′
C
′
{\displaystyle \triangle {A'B'C'}}
são congruentes pelo caso de congruência
L
A
L
{\displaystyle LAL}
, pois:
A
C
¯
≡
A
′
C
′
¯
e
A
^
≡
A
′
^
e
A
D
¯
≡
A
′
B
′
¯
⟹
△
A
D
C
≡
△
A
′
B
′
C
′
{\displaystyle {\overline {AC}}\equiv {\overline {A'C'}}\quad {\text{e}}\quad {\hat {A}}\equiv {\hat {A'}}\quad {\text{e}}\quad {\overline {AD}}\equiv {\overline {A'B'}}\qquad \Longrightarrow \qquad {\triangle {ADC}\equiv \triangle {A'B'C'}}}
.
Assim, como na relação anterior temos que
B
^
≡
D
^
{\displaystyle {\hat {B}}\equiv {\hat {D}}}
, o que é uma uma contradição, segundo o teorema do ângulo externo .
Logo essa possibilidade também não ocorrerá.
Uma vez que eliminamos a 2° e a 3° possibilidade, ficamos apenas com a primeira, que demonstra o nosso teorema .
Logo podemos afirmar que: se dois triângulos têm ordenadamente um lado, um ângulo adjacente e o ângulo oposto a esse lado, então esses triângulos são congruentes .
Referências