Origem: Wikipédia, a enciclopédia livre.
Um subconjunto
S
{\displaystyle S\,\!}
de um espaço vectorial
X
{\displaystyle X\,\!}
sobre um corpo
K
{\displaystyle \mathbb {K} }
diz-se equilibrado se, para qualquer elemento
x
{\displaystyle x\,\!}
de
S
{\displaystyle S\,\!}
e qualquer
λ
∈
K
{\displaystyle \lambda \in \mathbb {K} }
com
|
λ
|
≤
1
{\displaystyle |\lambda |\leq 1}
, se tiver
λ
x
∈
S
{\displaystyle \lambda x\in S}
.
Qualquer subespaço vectorial de
X
{\displaystyle X}
é equilibrado.
Se
(
S
i
)
i
∈
I
{\displaystyle (S_{i})_{i\in I}}
é uma família de equilibrados de
X
{\displaystyle X\,\!}
, então
⋂
i
∈
I
S
i
{\displaystyle \bigcap \limits _{i\in I}S_{i}}
é equilibrado;
Se
(
S
n
)
n
∈
N
{\displaystyle (S_{n})_{n\in \mathbb {N} }}
é uma sucessão crescente de equilibrados de
X
{\displaystyle X\,\!}
, então
⋃
n
=
1
∞
S
n
{\displaystyle \bigcup \limits _{n=1}^{\infty }S_{n}}
é equilibrado;
Se
f
:
X
→
Y
{\displaystyle f:X\rightarrow Y\,\!}
é uma aplicação linear, tem-se que:
se
S
{\displaystyle S\,\!}
é equilibrado em
X
{\displaystyle X\,\!}
, então
f
(
S
)
{\displaystyle f(S)\,\!}
é equilibrado em
Y
{\displaystyle Y\,\!}
;
se
T
{\displaystyle T\,\!}
equilibrado em
Y
{\displaystyle Y\,\!}
, então
f
−
1
(
T
)
{\displaystyle f^{-1}(T)\,\!}
é equilibrado em
X
{\displaystyle X\,\!}
.
O invólucro convexo de um equilibrado de
X
{\displaystyle X\,\!}
é equilibrado.
Ao menor equilibrado de
X
{\displaystyle X\,\!}
que contém
S
{\displaystyle S\,\!}
chama-se o invólucro equilibrado de
S
{\displaystyle S\,\!}
. Este é dado por:
{
λ
x
:
x
∈
S
,
|
λ
|
≤
1
}
{\displaystyle \{\lambda x:x\in S,|\lambda |\leq 1\}}
.
O invólucro equilibrado de um subconjunto de
X
{\displaystyle X\,\!}
depende do corpo
K
{\displaystyle \mathbb {K} }
. Por exemplo, em
X
=
C
{\displaystyle X=\mathbb {C} }
, considerado como espaço vectorial real, o invólucro equilibrado de
S
=
{
1
}
{\displaystyle S=\{1\}\,\!}
é o intervalo
[
−
1
,
1
]
{\displaystyle [-1,1]\,\!}
. Mas, sendo
X
{\displaystyle X\,\!}
um espaço vectorial complexo, o invólucro equilibrado de
S
{\displaystyle S\,\!}
é o disco fechado, centrado na origem e raio 1.