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Derivada logarítmica

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Na matemática, especificamente cálculo e análise complexa, a derivada logarítmica de uma função é definida pela fórmula:[1]

, onde é a derivada de

Nestas condições, muitas propriedades básicas do logaritmo também são válidas para essa condição, ainda quando a função não toma valores reais positivos. Algumas destas identidades são:

Demonstração da derivada logarítmica

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Considerando uma função logarítmica do logaritmo natural , vamos provar que sua derivada é a .

O logaritmo natural de t é a área hachurada do gráfico da função f(x) = 1/x.

Utilizando o conceito de derivada, temos que:

Uma das propriedades dos logaritmos transforma uma diferença de logaritmos em quociente, assim:

Utilizando a propriedade dos expoentes dos logaritmo fazemos:

Aplicando uma mudança de variável

Observamos que, quando h→0, então t→0. Essa troca é equivalente e não altera o limite. Desta forma:

No entanto, do limite fundamental exponencial, sabemos que

Logo:

Mas, , portanto :

[2]

Referências

  1. «Derivada de Funções Logaritmicas» (PDF). Universidade Estadual de Campinas. Instituto Militar de Engenharia. Consultado em 27 de outubro de 2014. Arquivado do original (PDF) em 5 de dezembro de 2014 
  2. «Derivadas de funções logarítmicas». somatematica.com.br. Consultado em 22 de dezembro de 2021