figura 1
Em matemática , a derivada simétrica é uma operação relacionada à derivada ordinária. É conhecida também como derivada de Vallée Poussin ou derivada de Peano simétrica.
É definida como:
lim
h
→
0
f
(
x
+
h
)
−
f
(
x
−
h
)
2
h
.
{\displaystyle \lim _{h\to 0}{\frac {f(x+h)-f(x-h)}{2h}}.}
Ou seja, se uma função
f
{\displaystyle f}
é simetricamente diferenciável em todos os pontos do intervalos, então tem derivadas simétricas nesse intervalo. Observando graficamente (figura 1) é possível notar que a interpretação da derivada e a interpretação da derivada simétrica parece ser a mesma, mas desde do ponto de vista analítico, ambos os conceitos não são equivalentes.
A esse limite denotaremos como
f
s
′
(
x
)
{\displaystyle f'_{s}(x)}
.
Seja
f
:
I
→
R
{\displaystyle f:I\to R}
uma função e
x
0
{\displaystyle x_{0}}
Є
I
{\displaystyle I}
. Suponha que
f
+
′
(
x
0
)
{\displaystyle f'_{+}(x_{0})}
e
f
+
′
(
x
0
)
{\displaystyle f'_{+}(x_{0})}
existem, então
f
{\displaystyle f}
tem derivada simétrica em
x
0
{\displaystyle x_{0}}
, e
f
s
′
(
x
0
)
=
f
+
′
(
x
0
)
+
f
−
′
(
x
0
)
2
{\displaystyle f'_{s}(x_{0})={\frac {f'_{+}(x_{0})+f'_{-}(x_{0})}{2}}}
.
Por hipótese existem
f
−
′
(
x
0
)
{\displaystyle f'_{-}(x_{0})}
e
f
+
′
(
x
0
)
{\displaystyle f'_{+}(x_{0})}
. Nota-se que existe
f
s
′
(
x
0
)
{\displaystyle f'_{s}(x_{0})}
. Então tomando
lim
h
→
0
+
f
(
x
0
+
h
)
−
f
(
x
0
−
h
)
2
h
{\displaystyle \lim _{h\to 0+}{\frac {f(x_{0}+h)-f(x_{0}-h)}{2h}}}
lim
h
→
0
+
f
(
x
0
+
h
)
−
f
(
x
0
)
+
f
(
x
0
)
−
f
(
x
0
−
h
)
2
h
{\displaystyle \lim _{h\to 0+}{\frac {f(x_{0}+h)-f(x_{0})+f(x_{0})-f(x_{0}-h)}{2h}}}
1
2
lim
h
→
0
+
f
(
x
0
+
h
)
−
f
(
x
0
)
h
{\displaystyle {\frac {1}{2}}\lim _{h\to 0+}{\frac {f(x_{0}+h)-f(x_{0})}{h}}}
+
1
2
lim
h
→
0
+
f
(
x
0
−
h
)
−
f
(
x
0
)
−
h
{\displaystyle {\frac {+1}{2}}\lim _{h\to 0+}{\frac {f(x_{0}-h)-f(x_{0})}{-h}}}
f
+
′
(
x
0
)
+
f
−
′
(
x
0
)
2
{\displaystyle {\frac {f'_{+}(x_{0})+f'_{-}(x_{0})}{2}}}
com isso,
f
s
′
(
x
0
)
=
f
+
′
(
x
0
)
+
f
−
′
(
x
0
)
2
{\displaystyle f'_{s}(x_{0})={\frac {f'_{+}(x_{0})+f'_{-}(x_{0})}{2}}}
.
Se existir a derivada simétrica
f
s
′
(
x
0
)
{\displaystyle f'_{s}(x_{0})}
então não significa que existem as derivadas
f
−
′
(
x
0
)
{\displaystyle f'_{-}(x_{0})}
e
f
+
′
(
x
0
)
{\displaystyle f'_{+}(x_{0})}
. Vejamos com um exemplo:
Considere a função
f
:
R
→
R
{\displaystyle f:R\to R}
definida como:
f
(
x
)
=
{\displaystyle f(x)=}
x
s
e
n
1
x
,
s
e
x
{\displaystyle xsen{\frac {1}{x}},\ se\ x}
≠
0
{\displaystyle 0}
0
,
s
e
x
=
0
{\displaystyle 0,\ se\ x=0}
.
Basta examinar se se a função
f
{\displaystyle f}
tem derivada simétrica em
0
{\displaystyle 0}
.
veja:
f
s
′
(
0
)
=
lim
h
→
0
f
(
0
+
h
)
−
f
(
0
−
h
)
2
h
{\displaystyle f'_{s}(0)=\lim _{h\to 0}{\frac {f(0+h)-f(0-h)}{2h}}}
=
lim
h
→
0
h
s
e
n
(
1
h
)
−
[
−
h
s
e
n
(
−
1
h
)
]
2
h
{\displaystyle =\lim _{h\to 0}{\frac {hsen({\frac {1}{h}})-[-hsen({\frac {-1}{h}})]}{2h}}}
=
lim
h
→
0
h
s
e
n
(
1
h
)
−
h
s
e
n
(
1
h
)
2
h
{\displaystyle =\lim _{h\to 0}{\frac {hsen({\frac {1}{h}})-hsen({\frac {1}{h}})}{2h}}}
=
lim
h
→
0
0
{\displaystyle =\lim _{h\to 0}0}
=
0
{\displaystyle =0}
, portanto a derivada simétrica de
f
{\displaystyle f}
em zero existe e é igual a zero.
com isso, verifica-se que
f
{\displaystyle f}
não tem derivada à direita em zero:
f
′
(
0
)
=
lim
h
→
0
+
f
(
0
+
h
)
−
f
(
0
)
h
.
{\displaystyle f'(0)=\lim _{h\to 0+}{\frac {f(0+h)-f(0)}{h}}.}
=
lim
h
→
0
+
h
s
e
n
(
1
h
)
h
{\displaystyle =\lim _{h\to 0+}{\frac {hsen({\frac {1}{h}})}{h}}}
=
lim
h
→
0
+
s
e
n
(
1
h
)
{\displaystyle =\lim _{h\to 0+}{sen({\frac {1}{h}})}}
, pois este limite não existe no zero e portanto
f
{\displaystyle f}
não tem derivada pela direita no ponto zero e é fácil ver,analogamente, pela esquerda.
com isso mostra-se que se
f
{\displaystyle f}
tem derivada simétrica em um ponto não necessariamente tem derivada nesse ponto.
Sabe-se da derivada que cada função diferenciável em um ponto é contínua nesse ponto. Mas uma função descontínua em um ponto pode ter derivada simétrica nesse ponto.Observe:
Seja
f
:
R
→
R
{\displaystyle f:R\to R}
uma função definida por :
f
(
x
)
=
{\displaystyle f(x)=}
{\displaystyle }
(
1
x
2
s
e
x
{\displaystyle ({\frac {1}{x^{2}}}\ se\ x}
≠
0
{\displaystyle 0}
e
0
,
s
e
x
=
0
)
{\displaystyle 0,\ se\ x=0)}
, esta função tem derivada simétrica em zero, note:
f
s
′
(
0
)
=
lim
h
→
0
f
(
0
+
h
)
−
f
(
0
−
h
)
2
h
{\displaystyle f'_{s}(0)=\lim _{h\to 0}{\frac {f(0+h)-f(0-h)}{2h}}}
=
lim
h
→
0
1
h
2
−
1
h
2
2
h
{\displaystyle =\lim _{h\to 0}{\frac {{\frac {1}{h^{2}}}-{\frac {1}{h^{2}}}}{2h}}}
lim
h
→
0
0
=
0
{\displaystyle \lim _{h\to 0}0=\ 0}
, portanto
f
(
x
)
=
1
x
2
{\displaystyle f(x)={\frac {1}{x^{2}}}}
é diferenciável simetricamente em
x
=
0
{\displaystyle x=0}
, mas não é contínua em zero.Isso não ocorre com as funções diferenciáveis.
Seja
f
:
{\displaystyle f:}
R
→
R
{\displaystyle R\to R}
uma função. Sabe-se que
f
{\displaystyle f}
é uma função par se satisfaz
f
(
x
)
=
f
(
−
x
)
{\displaystyle f(x)=f(-x)}
, para todo
x
{\displaystyle x}
Є
R
{\displaystyle R}
Perceba que a função da Observação 1 é função par.
Seja
f
:
R
→
R
{\displaystyle f:R\to R}
uma função par, então
f
{\displaystyle f}
tem derivada simétrica no ponto 0.
Demonstração :
Como
f
{\displaystyle f}
é uma função par , temos que:
f
(
x
)
=
−
f
(
x
)
=
0
{\displaystyle f(x)=-f(x)=0}
, logo
f
(
h
)
−
f
(
−
h
)
2
=
0
2
h
{\displaystyle {\frac {f(h)-f(-h)}{2}}={\frac {0}{2h}}}
então
lim
h
→
0
f
(
h
)
−
f
(
−
h
)
2
h
=
0
{\displaystyle \lim _{h\to 0}{\frac {f(h)-f(-h)}{2h}}=0}
, ou seja ,
f
s
′
(
x
)
=
0.
{\displaystyle f'_{s}(x)=0.}
Thomson, Brian S. (1994). Symmetric Properties of Real Functions . [S.l.]: Marcel Dekker. ISBN 0-8247-9230-0