Em matemática, a distribuição de Wigner é uma transformação bilinear usada na análise de sinais cujo espectro de frequência varia com o tempo (espectros chamados não-estacionários ou dinâmicos). A exemplo da transformada de Fourier de curto termo e da transformada de Wavelet, ela mapeia funções do domínio do tempo para o espaço misto tempo-frequência
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[2].
A distribuição de Wigner possui a grande desvantagem de não ser linear: considerando f(t) como a soma de duas componentes f1 e f2(t), com distribuições associadas W1 e W2(ω,τ), em geral W(ω,τ) ≠ W1(ω,τ) + W2(ω,τ). Essa não-linearidadee traz muitos inconvenientes na análise, por isso prefere-se empregar a transformada de Wavelet em seu lugar.
A distribuição de Wigner de uma função f(t) é uma função complexa W(ω,τ) dada pela expressão
![{\displaystyle {\mathcal {W}}\{f(t)\}\;=\;W(\omega ,\tau )\;=\;\int _{-\infty }^{\infty }f\left(\tau +{\frac {t}{2}}\right)\cdot f^{*}\left(\tau -{\frac {t}{2}}\right)\cdot e^{-i\omega t}\;dt\qquad (1a)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b904092508e3f3ad7b44c599b22d48affe465ed5)
onde o asterisco (*) denota o conjugado complexo. A transformação inversa é dada pela expressão
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Por inspeção, ver que as equações (1a) e (1b) podem ser escritas como
![{\displaystyle W(\omega ,\tau )\;=\;{\mathcal {F}}\left\{f\left(\tau +{\frac {t}{2}}\right)\cdot f^{*}\left(\tau -{\frac {t}{2}}\right)\right\}\qquad (2a)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/acc8e6b1abb75fb105f951a58aebba6bb4597134)
e
![{\displaystyle f(t)\;=\;{\frac {1}{f^{*}(0)}}\cdot {\mathcal {F}}\left\{W\left(\omega ,{\frac {t}{2}}\right)\right\}\qquad (2b)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2adc9e0878dc456ddd2d67e1a543f8b65a2b1177)
onde
é a transformada de Fourier da distribuição W(ω,τ) com
[1].
Além disso, Se denotarmos a transformada de Fourier de uma função f(t) por F(ω) e sua distribuição de Wigner por W(ω,τ), então teremos
[2]
[1][2]
Tabela 1 - Distribuições de Wigner correspondentes a algumas funções f(t)[2]
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![{\displaystyle \delta (t-a)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6fd3c6fa473a78a217067a892927fb724e458f35) |
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![{\displaystyle e^{i(at^{2}+bt+c)}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cf372b9e8ee5b7d80486050ec678d264ed10d4b1) |
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![{\displaystyle \cos(at)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/284bfbe35ad1c6a69786f8fa430204c2c82fd1b8) |
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onde:
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Para um par de funções f e g(t) define-se a distribuição cruzada de Wigner através da equação
![{\displaystyle {\mathcal {W}}_{c}\{f(t),g(t)\}\;=\;W_{c}(\omega ,\tau )\;=\;\int _{-\infty }^{\infty }f\left(\tau +{\frac {t}{2}}\right)\cdot g^{*}\left(\tau -{\frac {t}{2}}\right)\cdot e^{i\omega t}\;dt\qquad (3a)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/684b9a19ffc5b8d13f671b0b84b7bb8937793482)
onde o asterisco (*) denota o conjugado complexo. Em aplicações práticas, f(t é o sinal que se deseja analisar e g(t) representa uma janela deslizante que seleciona segmentos temporais desse sinal, a exemplo do que se faz com as transformadas de Fourier de tempo curto e de Wavelet.
Referências
- ↑ a b c d Y. Sheng - Wavelet Transform in A. Poularikas (org) - The Transforms and Applications Handbook, 2nd. edition, Boca Raton: CRC, 2000, Cap. 10, pp. 871 a 873
- ↑ a b c d e R. Bracewell - The Fourier Transform and Its Applications, 3rd. edition, Singapore: McGraw-Hill, 2000, ISBN 0-07-303938-1, Cap. 19, pp. 504 a 505