Equação de Torricelli

A Equação de Torricelli é uma equação proposta pelo físico e matemático italiano Evangelista Torricelli. O primeiro registro da equação na literatura remonta aos estudos de Torricelli a respeito do movimento da água. Ao tentar determinar a velocidade de saída de um jato d’agua jorrando de um pequeno orifício de um recipiente, ele notou que a velocidade do fluxo seria igual a velocidade de uma gota em queda livre.

Comumente essa equação aparece nos livros didáticos como uma forma calcular a velocidade final de um corpo em movimento retilíneo uniformemente variado, ou seja, com aceleração constante, sem a necessidade de se conhecer o intervalo de tempo em que este permaneceu em movimento.

A equação tem a forma:

${v}^{2}={v_{o}}^{2}+2a\Delta x$

Onde $v$ representa a velocidade final do corpo, $v_{0}$ representa a velocidade inicial do corpo, $\Delta x$ representa o deslocamento e $a$ representa a aceleração.

Deduções

Pela cinemática

Esta equação pode ser deduzida a partir das seguintes equações

$x=x_{o}+v_{o}t+{\frac {at^{2}}{2}}$

 

 

 

 

(1)

$v=v_{o}+at$

 

 

 

 

(2)

Isolando $t$ na Equação (2), temos que

$t={\frac {(v-v_{o})}{a}}$

E substituindo-o na Equação (1), temos que

$x-x_{o}=v_{o}\left({\frac {v-v_{o}}{a}}\right)+{\frac {a}{2}}\left({\frac {v-v_{o}}{a}}\right)^{2}$

Podemos chamar $x-x_{0}$ de $\Delta x$

$\Delta x=\left({\frac {vv_{o}-v_{o}^{2}}{a}}\right)+{\frac {a}{2}}\left({\frac {v^{2}-2vv_{o}+v_{o}^{2}}{a^{2}}}\right)$

$\Delta x={\frac {vv_{o}-v_{o}^{2}}{a}}+{\frac {v^{2}-2vv_{o}+v_{o}^{2}}{2a}}$

$\Delta x={\frac {2v_{o}-2v_{o}^{2}}{2a}}+{\frac {v^{2}-2vv_{o}+v_{o}^{2}}{2a}}$

$2a\Delta x=2vv_{o}-2v_{o}^{2}+v^{2}-2vv_{o}+v_{o}^{2}$

$2a\Delta x=-v_{o}^{2}+v^{2}$

E por fim, temos o resultado desejado

$v^{2}=v_{o}^{2}+2a\Delta x$

Pelo teorema do trabalho-energia

O teorema do trabalho-energia diz que o trabalho produzido por uma força, em um determinado corpo, é igual à variação da energia cinética desse corpo.

$W=\Delta K$

$F\Delta x={\frac {m{v}^{2}}{2}}-{\frac {m{v_{0}}^{2}}{2}}$

Pela segunda lei de Newton, sabemos que $F=ma$

$ma\Delta x={\frac {m{v}^{2}}{2}}-{\frac {m{v_{0}}^{2}}{2}}$

$a\Delta x={\frac {{v}^{2}}{2}}-{\frac {{v_{0}}^{2}}{2}}$

$2a\Delta x={v}^{2}-{v_{0}}^{2}$

Desse modo, temos o resultado desejado

${v}^{2}={v_{0}}^{2}+2a\Delta x$

Pelo cálculo diferencial e integral

Por definição, a derivada temporal da velocidade é igual a aceleração do corpo.

${\frac {dv}{dt}}=a$

Multiplicando os dois lados da equação pela velocidade.

$v{\frac {dv}{dt}}=av$

E por definição, a velocidade é a derivada temporal do espaço.

$v{\frac {dv}{dt}}=a{\frac {dx}{dt}}$

Multiplicando os dois lados da equação por $dt$.

$v\ dv=a\ dx$

Resolvendo essa equação diferencial.

$\int _{v_{0}}^{v}v'\ dv'=\int _{x_{0}}^{x}a\ dx'$

${\frac {{v}^{2}}{2}}-{\frac {{v_{0}}^{2}}{2}}=a(x-x_{0})$

${v}^{2}-{v_{0}}^{2}=2a(x-x_{0})$

Chamando $x-x_{0}$ de $\Delta x$.

${v}^{2}={v_{0}}^{2}+2a\Delta x$