Na física, as equações de Maxwell no espaço-tempo curvo governam a dinâmica do campo eletromagnético no espaço-tempo curvo
[1] (onde a métrica não pode ser a métrica de Minkowski) ou quando se usa um sistema , não necessariamente cartesiano, arbitrário de coordenadas. Estas equações podem ser vistas como uma generalização das equações de Maxwell, que são normalmente formuladas nas coordenadas locais[nota 1] do espaço-tempo plano. Entretanto porque a relatividade geral dita que a presença de campos eletromagnéticos (ou energia/matéria em geral) induzem curvatura do espaço-tempo, as equações de Maxwell no espaço-tempo plano devem ser vistas como uma aproximação.
O campo electromagnético[2] é um tensor antissimétrico covariante de classe 2,[3] que pode ser definido em termos de potencial electromagnético por
![{\displaystyle F_{\alpha \beta }\,=\,\partial _{\alpha }A_{\beta }\,-\,\partial _{\beta }A_{\alpha }\,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9884d036e170a0c192de5ac872eaf2e7506be09b)
Para verificar que esta equação é invariante, podemos transformar as coordenadas (tal como descrito no tratamento clássico de tensores)
![{\displaystyle {\begin{aligned}{\bar {F}}_{\alpha \beta }&={\frac {\partial {\bar {A}}_{\beta }}{\partial {\bar {x}}^{\alpha }}}\,-\,{\frac {\partial {\bar {A}}_{\alpha }}{\partial {\bar {x}}^{\beta }}}\\&=\,{\frac {\partial }{\partial {\bar {x}}^{\alpha }}}\left({\frac {\partial x^{\gamma }}{\partial {\bar {x}}^{\beta }}}A_{\gamma }\right)\,-\,{\frac {\partial }{\partial {\bar {x}}^{\beta }}}\left({\frac {\partial x^{\delta }}{\partial {\bar {x}}^{\alpha }}}A_{\delta }\right)\\&=\,{\frac {\partial ^{2}x^{\gamma }}{\partial {\bar {x}}^{\alpha }\,\partial {\bar {x}}^{\beta }}}A_{\gamma }\,+\,{\frac {\partial x^{\gamma }}{\partial {\bar {x}}^{\beta }}}{\frac {\partial A_{\gamma }}{\partial {\bar {x}}^{\alpha }}}\,-\,{\frac {\partial ^{2}x^{\delta }}{\partial {\bar {x}}^{\beta }\,\partial {\bar {x}}^{\alpha }}}A_{\delta }\,-\,{\frac {\partial x^{\delta }}{\partial {\bar {x}}^{\alpha }}}{\frac {\partial A_{\delta }}{\partial {\bar {x}}^{\beta }}}\\&=\,{\frac {\partial x^{\gamma }}{\partial {\bar {x}}^{\beta }}}{\frac {\partial x^{\delta }}{\partial {\bar {x}}^{\alpha }}}{\frac {\partial A_{\gamma }}{\partial x^{\delta }}}\,-\,{\frac {\partial x^{\delta }}{\partial {\bar {x}}^{\alpha }}}{\frac {\partial x^{\gamma }}{\partial {\bar {x}}^{\beta }}}{\frac {\partial A_{\delta }}{\partial x^{\gamma }}}\\&=\,{\frac {\partial x^{\delta }}{\partial {\bar {x}}^{\alpha }}}{\frac {\partial x^{\gamma }}{\partial {\bar {x}}^{\beta }}}\,\left({\frac {\partial A_{\gamma }}{\partial x^{\delta }}}\,-\,{\frac {\partial A_{\delta }}{\partial x^{\gamma }}}\right)\\&=\,{\frac {\partial x^{\delta }}{\partial {\bar {x}}^{\alpha }}}{\frac {\partial x^{\gamma }}{\partial {\bar {x}}^{\beta }}}\,F_{\delta \gamma }\ .\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3b70cb5d0edf0742f3799ff1ff0f736db6939f9e)
Esta definição implica que o campo electromagnético satisfaz
![{\displaystyle \partial _{\lambda }F_{\mu \nu }+\partial _{\mu }F_{\nu \lambda }+\partial _{\nu }F_{\lambda \mu }=0\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5ea2fe4bb5972de7c3813c441566ce593d8114c5)
que incorpora a lei de indução de Faraday e lei de Gauss[4] para o magnetismo. Isto é demonstrado por
![{\displaystyle \partial _{\lambda }F_{\mu \nu }+\partial _{\mu }F_{\nu \lambda }+\partial _{\nu }F_{\lambda \mu }\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3a5f6d5910459c974024fe5dd06b25a7fc9a07bf)
![{\displaystyle =\,\partial _{\lambda }\partial _{\mu }A_{\nu }-\partial _{\lambda }\partial _{\nu }A_{\mu }+\partial _{\mu }\partial _{\nu }A_{\lambda }-\partial _{\mu }\partial _{\lambda }A_{\nu }+\partial _{\nu }\partial _{\lambda }A_{\mu }-\partial _{\nu }\partial _{\mu }A_{\lambda }\,=0\,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1d5292d90c46d0e6e2907923d1f12042f51ca049)
Embora parece ter 64 equações em Faraday-Gauss, elas realmente reduzem-se a apenas quatro equações independentes
.[5] Utilizando a antisimetria do campo electromagnético pode-se reduzir a uma identidade (0 = 0) ou tornar redundante todas as equações, com excepção para aqueles com λ, μ, ν = 1,2,3; ou 2,3,0; ou 3,0,1; ou 0,1,2.
A equação de Faraday-Gauss é por vezes escrita
![{\displaystyle F_{[\mu \nu ;\lambda ]}\,=\,F_{[\mu \nu ,\lambda ]}\,=\,{\frac {1}{6}}\left(\partial _{\lambda }F_{\mu \nu }+\partial _{\mu }F_{\nu \lambda }+\partial _{\nu }F_{\lambda \mu }-\partial _{\lambda }F_{\nu \mu }-\partial _{\mu }F_{\lambda \nu }-\partial _{\nu }F_{\mu \lambda }\right)\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0d8e2cede3dfb7a42657649d9d67336241e51e8a)
![{\displaystyle =\,{\frac {1}{3}}\left(\partial _{\lambda }F_{\mu \nu }+\partial _{\mu }F_{\nu \lambda }+\partial _{\nu }F_{\lambda \mu }\right)=0\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/abce9264157ed854be057272c3b62746d1051b11)
onde o ponto e vírgula indica uma derivada covariante, vírgula indica uma derivada parcial, e colchetes indicam anti-simetrização (Veja Gregorio Ricci-Curbastro).[6] A derivada covariante do campo eletromagnético é
![{\displaystyle F_{\alpha \beta ;\gamma }\,=\,F_{\alpha \beta ,\gamma }-{\Gamma ^{\mu }}_{\alpha \gamma }F_{\mu \beta }-{\Gamma ^{\mu }}_{\beta \gamma }F_{\alpha \mu }\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/254d94c8ee9d242868a71c238f5d23d5895fa0da)
onde Γαβ γ é o símbolo de Christoffel que é simétrico em seus índices mais baixos.
Referências
Notas
- ↑ Coordenadas locais são índices de medição em um sistema de coordenadas locais ou um espaço de coordenadas locais.