Espiral de Sacks

A espiral de Sacks

Espiral de Sacks é uma variação da espiral de Ulam. Ambas são modos de representação de números primos através de grafos em forma de espiral. Foi criada pelo matemático Robert Sacks em 1994.

Definição

Na variação de Sacks, os números inteiros não-negativos são assinalados numa espiral de Arquimedes ao invés da espiral quadrada de Ulam. São espaçados de modo que os números quadrados perfeitos ocorram a cada rotação completa. Na espiral de Ulam, dois quadrados ocorrem a cada rotação.

O polinômio gerador de números primos de Euler, x² - x + 41 , agora aparece como uma única curva com x tomando valores como 0, 1, 2, ... Esta curva se aproxima assintoticamente de uma linha horizontal na parte esquerda da figura. Na espiral de Ulam , o polinômio de Euler forma duas linhas diagonais, uma na metade superior da figura, correspondente aos valores pares de x na sequência, a outra na metade inferior da figura, correspondente aos valores ímpares de x na sequência.

Uma Espiral de Ulam de tamanho 150×150 mostrando tanto números primos quanto números compostos.

Estruturas adicionais podem ser vistas com números compostos também sendo incluídos na espiral de Ulam. Considera-se nesta situação que o número 1 tenha somente um fator simples: ele próprio. Daí cada número primo possuirá dois fatores: ele próprio e o próprio 1; então números compostos serão divisíveis por pelo menos três diferentes fatores. Usando o tamanho do ponto que representa um inteiro para indicar o número de fatores e colorindo números primos de vermelho e compostos de azul produzem o valor indicado.