Em Geometria Diferencial, as fórmulas de Cartan relacionam a derivada de Lie ao longo de um campo vetorial, a derivada exterior e a contração.
Seja
um campo de vetores sobre uma variedade diferenciável. Seja
o fluxo (local) gerado por
. Recordemos que para uma forma diferencial
, podemos definir a forma diferencial
por
Essa forma diferencial é chamada de derivada de Lie de
ao longo de
. Temos as seguintes propriedades:
Para
um campo vetorial, definimos o campo vetorial
por
Trata-se do colchete de Lie
. Recorde que
. A equivalência entre essas duas definições do colchete de Lie pode ser provada localmente; é um bom exercício no uso da regra da cadeia.
Se
, a contração de
por
é a
-forma dada por
. Denota-se também por
. Temos a propriedade
. É consequência da propriedade análoga do produto exterior.
A fórmula é
. Para a prova, note que (i) ambos os membros são transformações lineares; (ii) a fórmula vale para funções suaves; (iii) a fórmula vale para 1-formas exatas, isto é, para diferenciais
; (iv) se a fórmula vale para
e para
, então vale para
. Localmente, toda forma pode ser expressada utilizando essas operações, logo a fórmula vale para toda forma diferencial.[1]
A segunda fórmula de Cartan é
. Não é muito difícil ver que é uma consequência da igualdade
.
Seja
e sejam
e
campos de vetores em
. Temos
,
; logo
, então
, ou, equivalentemente,
Com um pouco mais de trabalho, chegamos à fórmula
que pode ser usada para definir a derivada exterior, sem menção a sistemas locais de coordenadas.
Considere uma variedade simplética
e o parêntese de Poisson associado
Sejam
e
os campos Hamiltonianos associados às hamiltonianas
, isto é,
. Pelas duas fórmulas mágicas de Cartan,
Portanto,
. Daí,
; logo
. Equivalentemente,
. Trata-se da identidade de Jacobi, que imediatamente nos dá o
Teorema de Poisson-Jacobi. Se
e
são integrais de movimento, também o é
.
- ↑ Spivak, Michael D. (2010). Physics for Mathematicians: Mechanics I. Houston, TX: Publish or Perish