A Função de Gel'fand-Shilov (F.G.S.) consiste em uma das funções fundamentais do chamado Cálculo Fracionário[1], sendo de crucial importância para a definição de Integral Fracionária[2] através de um produto de convolução[3].
Sejam
e
. A função de Gel'fand-Shilov é definida por:
e
onde
é a função Gama[4].
OBS: A função Gama apresenta singularidades para
.
Sejam
e
definidos fora das singularidades da função Gama e
o produto de convolução de Laplace. Tem-se que:
.
De fato:
![{\displaystyle \phi _{\alpha }(t)*\phi _{\beta }(t)=\int _{0}^{t}{\frac {{\bigl (}{t-\tau }{\bigr )}^{\alpha -1}}{\Gamma (\alpha )}}{\frac {{\tau }^{\beta -1}}{\Gamma (\beta )}}d\tau }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/918b794ceb71a621724203f5193caffbc552c6c9)
Introduzindo a mudança de variáveis:
, segue que
.Estabelecendo os novos limites de integração, temos:
Onde
é a função Beta para
e
para
e
.
Utilizando o fato de que
, segue que:
A Transformada de Laplace[5] da função de Gel'fand-Shilov é dada por:
.
De fato:
Introduzindo a mudança de variáveis
, decorre que:
Gráfico tridimensional da função de Gel'fand-Shilov, para
e
:
Gráfico da função de Gel'fand-Shilov tridimensional
- ↑ «Cálculo fracionário». Wikipédia, a enciclopédia livre. 12 de setembro de 2016
- ↑ «Integral Fracionária». Wikipédia, a enciclopédia livre. 2 de novembro de 2016
- ↑ E. Capelas de Oliveira, R. Figueiredo Camargo (2015). Cálculo Fracionário. [S.l.]: Livraria da Física. 119 páginas
- ↑ «Função gama». Wikipédia, a enciclopédia livre. 25 de outubro de 2016
- ↑ «Transformada de Laplace». Wikipédia, a enciclopédia livre. 20 de outubro de 2016