Saltar para o conteúdo

Função hiperbólica inversa

Origem: Wikipédia, a enciclopédia livre.
Gráficos da função hiperbólica inversa quanto às funções trigonométricas inversas.

Na matemática, a função hiperbólica inversa fornece um ângulo hiperbólico correspondente a um determinado valor da função hiperbólica. A magnitude do ângulo hiperbólico é equivalente à área do setor hiperbólico da hipérbole unitária xy = 1, ou o dobro da área correspondente ao setor da unidade x2y2 = 1, assim como um ângulo circular é o dobro da área do setor circular de um círculo unitário.[1]

Quanto à nomenclatura, as abreviaturas preferenciais são arsinh, arcosh e assim por diante, sendo estas representantes das funções trigonométricas inversas. Em outros campos, tal como a ciência da computação, a abreviação é feita pelo prefixo asinh e ainda pode ser válido as notações sinh−1(x), cosh−1(x), entre outras.[2]

Representação logarítmica

[editar | editar código-fonte]

Arco seno hiperbólico

[editar | editar código-fonte]

O domínio é o conjunto de números reais.

Demonstração:

Se então

Como , a única solução será .

Arco cosseno hiperbólico

[editar | editar código-fonte]

O domínio é o intervalo fechado [1, +∞ ).

Demonstração:

Se então

Como a solução será . Após uniformização, temos

Arco tangente hiperbólica

[editar | editar código-fonte]

O domínio é o intervalo aberto (−1, 1).

Arco cotangente hiperbólica

[editar | editar código-fonte]

O domínio é a união dos intervalos (−∞, −1) e (1, +∞).

Arco cossecante hiperbólica

[editar | editar código-fonte]

O domínio é o conjunto dos números reais excluindo o 0.

Arco secante hiperbólica

[editar | editar código-fonte]

O domínio é o intervalo semiaberto (0, 1].


Note que devemos considerar o valor principal das raízes quadradas e da função logarítmica citadas acima. No caso de argumentos reais (z = x, onde x é real), algumas simplificações podem ser feitas, como por exemplo, e  .

Fórmulas aditivas

[editar | editar código-fonte]

Outras identidades

[editar | editar código-fonte]

Derivadas das funções hiperbólicas inversas

[editar | editar código-fonte]

Derivada de arco seno hiperbólico

[editar | editar código-fonte]

Derivada de arco cosseno hiperbólico

[editar | editar código-fonte]

, se

Derivada de arco tangente hiperbólico

[editar | editar código-fonte]

, se

Derivada de arco cotangente hiperbólico

[editar | editar código-fonte]

, se

Derivada de arco secante hiperbólico

[editar | editar código-fonte]

, se

Derivada de arco cossecante hiperbólico

[editar | editar código-fonte]

, se

Expansões em série

[editar | editar código-fonte]

Expansão em série de arco seno hiperbólico:

Expansão em série de arco cosseno hiperbólico:

Expansão em série de arco tangente hiperbólico:

Expansão em série de arco cossecante hiperbólico:

Expansão em série de arco secante hiperbólico:

Expansão em série de arco cotangente hiperbólico:

Representação gráfica

[editar | editar código-fonte]
Square representing central portion of the complex z-plane painted in psychedelic colours
Square representing central portion of the complex z-plane painted in psychedelic colours
Square representing central portion of the complex z-plane painted in psychedelic colours
Square representing central portion of the complex z-plane painted in psychedelic colours
Square representing central portion of the complex z-plane painted in psychedelic colours
Square representing central portion of the complex z-plane painted in psychedelic colours
Funções hiperbólicas inversas no plano-z complexo: a cor em cada ponto do plano representa o valor complexo da respectiva função que condiciona tal ponto.

Referências

  1. «Cap. XXV. Funções hiperbólicas e funções hiperbólicas inversas». Universidade Federal Fluminense. Consultado em 28 de novembro de 2014 
  2. Amália, Luiza. «Definição: Funções Hiperbólicas» (PDF). Campus Experimental de Sorocaba. Universidade Estadual Paulista. Consultado em 28 de novembro de 2014 

Ligações externas

[editar | editar código-fonte]