Saltar para o conteúdo

Função meromorfa

Origem: Wikipédia, a enciclopédia livre.

Em análise complexa, uma função complexa é dita meromorfa em uma região se for analítica (isto é, holomorfa) nessa região, à exceção de polos isolados.[1]

De forma mais precisa, se for um aberto conexo não vazio de , diz-se que uma função definida num subconjunto de com valores em é meromorfa se:

  • o domínio de é da forma  \ , onde é uma parte fechada e discreta de ;
  • é holomorfa;
  • tem um polo em cada  ∈ .
  • Qualquer função holomorfa é meromorfa.
  • A função de em definida por é uma função meromorfa de em .
  • A função de em definida por não é uma função meromorfa de em , pois não é um conjunto discreto (pois é um ponto de acumulação). Mas é uma função meromorfa de em (pois agora o conjunto dos polos de é discreto).
  • A função de em definida por não é uma função meromorfa de em , pois não tem um polo em .

Seja um aberto conexo não vazio de e sejam e duas funções meromorfas de em . A função tem por domínio um conjunto da forma  \  e a função tem por domínio um conjunto da forma , sendo e conjuntos fechados e discretos. Começa-se por definir em da maneira usual: . Para cada , é possível que exista o limite

;

se for esse o caso, define-se como sendo esse limite. Definindo desse modo, então tem-se novamente uma função meromorfa. Pode-se definir analogamente as funções , e (esta última caso não seja a função nula). Com estas operações, o conjunto das funções meromorfas de em passa a ter uma estrutura de corpo.

O quociente de duas funções holomorfas é uma função meromorfa. Reciprocamente, qualquer função meromorfa pode ser expressa como o quociente de duas funções holomorfas.

Referências

  1. Ahlfors 1979, p. 128.