Em teoria das categorias, dada categoria
, uma representação para um functor
é um objeto
junto a um isomorfismo natural
![{\displaystyle \hom _{C}(c,-)\cong F,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/775432ace0d9d396193c2480b8c8b4a3f8de5534)
em que
![{\displaystyle \hom _{C}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dff88ff5c62f763f464e179978b327570425c73e)
denota o
functor hom. Um
functor representável é um functor
![{\displaystyle F:C\to {\mathsf {Set}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/77251f10d3089383c24079cbfde072d927ee0b4a)
admitindo representação.
[1]
Um elemento universal de um functor
é um objeto
, junto a um elemento
, tais que, para cada
, há único morfismo
em
com
.[2] Noutras palavras, um elemento universal é um objeto inicial na categoria de elementos de
.
Representações do functor
correspondem biunivocamente a elementos universais de
. Com efeito, se
, tem-se que
é um elemento universal; se
é elemento universal,
![{\displaystyle \psi _{d}=(f:c\to d)\mapsto F(f)(x)\ :\ \hom _{C}(c,d)\cong F(d)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/120d84d650a062ff60684b22580203cc02e6db4b)
é uma representação; e essas correspondências são inversas uma a outra.
[3]
Sejam
objeto de um categoria
e functor
. Uma seta universal
de
ao functor
é um elemento universal
do functor
; noutras palavras, para cada
e seta
, há único
tal que
:
![{\displaystyle {\begin{matrix}a&{\xrightarrow {u}}&S(c)\\&\searrow &\downarrow &\scriptstyle {S(f)}\\\scriptstyle {u'}&&S(c')\end{matrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b60f27472ea4d9d6fb981639f2cbbe09a399bbea)
Dualmente, uma seta universal
do functor
até
é um elemento universal
do functor
.[4]
Referências