Em matemática, a homologia singular é uma teoria de homologia que associa a cada espaço topológico uma sequência de grupos abelianos
, e a cada aplicação contínua
, entre dois dados espaços topológicos, uma sequência de homomorfismos induzidos
.
Assim como toda homologia, a homologia singular é um funtor covariante
entre a categoria dos espaços topológicos e aplicações contínuas e a categoria dos grupos graduados em
e os homomorfismos de grupos graduados em
. É conveniente também, dado um espaço topológico
e um subespaço
, definir a homologia singular relativa
.
Seja
um espaço topológico,
o simplexo padrão p-dimensional, isto é;
Note que,
, a base canônica do
também é o conjunto dos pontos extremais do convexo
.
Sejam também, para
,
,
a aplicação linear que leva
em
, para
, e
em
, para
.
é o chamado i-ésimo operador face de
.
Definimos o p-ésimo operador bordo sobre
como
dada por
.
Definimos um p-simplexo singular de
como uma aplicação contínua
.
Definimos para
o p-ésimo grupo singular de
,
, como sendo o grupo abeliano livre gerado pelos p-simplexos singulares de
.
Note que podemos definir também
agindo sobre
. Podemos escrever um elemento qualquer de
como
, onde os
's são p-simplexos singulares de
, e os
's são inteiros não-nulos. Definimos
por
.
Portanto,
está bem definida.
Seja
. Chamamos de
de grupo dos p-ciclos singulares de X, que será denotado por
.
De forma análoga, diremos que
é o grupo dos p-bordos singulares de X, que será denotado por
.
É fácil mostrar que
, e que portanto,
define um complexo de cadeias, a que chamaremos de complexo de cadeias singulares associado ao espaço topológico
Por definição, o p-ésimo grupo de Homologia de
é grupo
.