Em matemática, um integrador simplético (ou simpléctico) é um métodos numéricos para equações diferenciais ordinárias para sistemas hamiltonianos.
Um sistema hamiltoniano é localmente descrito por um aberto e uma função , onde é o número de graus de liberdade do sistema, o espaço de fase é localmente homeomorfo ao conjunto e a função é chamada de hamiltoniano do sistema. A evolução do sistema satisfaz às equações de HamiltonNeste artigo a solução para essas equações será denotada por .
De acordo com o teorema de Liouville, dada uma região do espaço de fase, se cada ponto dessa região evolui de acordo com as equações de Hamilton então o volume dessa região é constante, essa é uma propriedade importante dos sistemas hamiltonianos e portanto temos interesse em encontrar métodos numéricos de integração que preservem essa propriedade, um integrador simplético respeita essa propriedade. Em outras palavras, a evolução do sistema é um simplectomorfismo e um integrador simplético é, por definição, um método cuja discretização é também um simplectomorfismo.[1]
Dado que o integrador simplético respeita as propriedades geométricas do espaço de fase e das equações de Hamilton ele é indicado para o problema de muitos corpos e para integração de tempo longo em sistemas hamiltonianos, obtendo resultados consideravelmente satisfatórios se comparado com outros métodos como RK4.[2]
Os integradores simpléticos de primeira ordem são , onde é o tamanho do passo para discretização do tempo. Os métodos de primeira ordem são variantes do método de Euler ajustados de acordo com a geometria simplética do espaço de fase.
Euler simplético I:
- previamente estimado utilizando outro método (na primeira iteração).
-
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(1)
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Euler simplético II:
- previamente estimado utilizando outro método (na primeira iteração).
-
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(2)
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Esses métodos são, em geral, implícitos, entretanto em alguns casos particulares eles dão lugar a métodos explícitos, por exemplo:
Euler semi-implícito:
-
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(3)
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Teorema I: Os métodos (1), (2) e (3) são simpléticos de ordem 1.
Demonstração: Cf. referências [1] e [3]. Note que o método (3) é um caso particular do método (1).
Os integradores simpléticos de segunda ordem são . Em geral, métodos de segunda ordem são variantes do método de Verlet, bem como o próprio método de Verlet.[3]
Störmer-Verlet I:
- e previamente estimados utilizando outro método (na primeira iteração).
-
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(4)
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Störmer-Verlet II:
- e previamente estimados utilizando outro método (na primeira iteração).
-
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(5)
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Como acontece para os métodos de Euler, o caso do hamiltoniano separável permite desenvolver métodos explícitos derivados desses, que são implícitos.
Verlet:
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(6)
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Teorema II: Os métodos (4), (5) e (6) são simpléticos de ordem 2.
Demonstração: Cf. referência [3] e [4]. Note que o método (6) é um caso particular do método (5).
Os integradores simpléticos de terceira ordem são .
Ronald D. Ruth:
- , , , e .
-
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(7)
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Por exemplo: , , , , e .
Teorema III: O método (7) é simplético de ordem 3.
Demonstração: Cf. referência [4].
- ↑ a b Hairer, Ernst; Hairer, Martin (2003). Blowey, James F.; Craig, Alan W.; Shardlow, Tony, eds. «GniCodes — Matlab Programs for Geometric Numerical Integration». Berlin, Heidelberg: Springer Berlin Heidelberg (em inglês): 199–240. ISBN 978-3-540-44319-3. doi:10.1007/978-3-642-55692-0_5. Consultado em 18 de fevereiro de 2023
- ↑ «ode - What does "symplectic" mean in reference to numerical integrators, and does SciPy's odeint use them?». Computational Science Stack Exchange (em inglês). Consultado em 18 de fevereiro de 2023
- ↑ a b c Hairer, Ernst (Fevereiro de 2010). «Geometric Numerical Integration» (PDF). Consultado em 18 de Fevereiro de 2023
- ↑ a b Ruth, Ronald D. (agosto de 1983). «A Can0nical Integrati0n Technique». IEEE Transactions on Nuclear Science (4): 2669–2671. ISSN 0018-9499. doi:10.1109/TNS.1983.4332919. Consultado em 18 de fevereiro de 2023