Em matemática, um integrador simplético (ou simpléctico) é um métodos numéricos para equações diferenciais ordinárias para sistemas hamiltonianos.
Um sistema hamiltoniano é localmente descrito por um aberto
e uma função
, onde
é o número de graus de liberdade do sistema, o espaço de fase é localmente homeomorfo ao conjunto
e a função
é chamada de hamiltoniano do sistema. A evolução do sistema satisfaz às equações de Hamilton
Neste artigo a solução para essas equações será denotada por
.
De acordo com o teorema de Liouville, dada uma região
do espaço de fase, se cada ponto dessa região evolui de acordo com as equações de Hamilton então o volume dessa região é constante, essa é uma propriedade importante dos sistemas hamiltonianos e portanto temos interesse em encontrar métodos numéricos de integração que preservem essa propriedade, um integrador simplético respeita essa propriedade. Em outras palavras, a evolução do sistema é um simplectomorfismo e um integrador simplético é, por definição, um método cuja discretização é também um simplectomorfismo.[1]
Dado que o integrador simplético respeita as propriedades geométricas do espaço de fase e das equações de Hamilton ele é indicado para o problema de muitos corpos e para integração de tempo longo em sistemas hamiltonianos, obtendo resultados consideravelmente satisfatórios se comparado com outros métodos como RK4.[2]
Os integradores simpléticos de primeira ordem são
, onde
é o tamanho do passo para discretização do tempo. Os métodos de primeira ordem são variantes do método de Euler ajustados de acordo com a geometria simplética do espaço de fase.
Euler simplético I:
![{\textstyle {\mathcal {H}}:{\mathcal {P}}\rightarrow \mathbb {R} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/058dd14338b41866f0b08c20884e5834c4caffd2)
previamente estimado utilizando outro método (na primeira iteração).
-
![{\displaystyle {\begin{cases}p_{n}(t+\delta t)&\approx p_{n}(t)-\delta t\left.{\frac {\partial }{\partial q^{n}}}{\mathcal {H}}\right\vert _{(q(t),p(t+\delta t))}\\q^{n}(t+\delta t)&\approx q^{n}(t)+\delta t\left.{\frac {\partial }{\partial p_{n}}}{\mathcal {H}}\right\vert _{(q(t),p(t+\delta t))}\end{cases}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6184aab79d4005fe39f425bbabf1e87a2e03211e)
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(1)
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Euler simplético II:
![{\textstyle {\mathcal {H}}:{\mathcal {P}}\rightarrow \mathbb {R} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/058dd14338b41866f0b08c20884e5834c4caffd2)
previamente estimado utilizando outro método (na primeira iteração).
-
![{\displaystyle {\begin{cases}q^{n}(t+\delta t)&\approx q^{n}(t)+\delta t\left.{\frac {\partial }{\partial p_{n}}}{\mathcal {H}}\right\vert _{(q(t+\delta t),p(t))}\\p_{n}(t+\delta t)&\approx p_{n}(t)-\delta t\left.{\frac {\partial }{\partial q^{n}}}{\mathcal {H}}\right\vert _{(q(t+\delta t),p(t))}\end{cases}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cd7fef66a107ad9a90e87f5259c1383469ee466f)
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(2)
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Esses métodos são, em geral, implícitos, entretanto em alguns casos particulares eles dão lugar a métodos explícitos, por exemplo:
Euler semi-implícito:
![{\textstyle {\mathcal {H}}(q,p)=T(p)+V(q)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8dba22f8844ec9b8a591a15b75b37b1837e76b1a)
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![{\displaystyle {\begin{cases}p_{n}(t+\delta t)&\approx p_{n}(t)-\delta t\left.{\frac {\partial }{\partial q^{n}}}V\right\vert _{q(t)}\\q^{n}(t+\delta t)&\approx q^{n}(t)+\delta t\left.{\frac {\partial }{\partial p_{n}}}T\right\vert _{p(t+\delta t)}\end{cases}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a539c1baed1bdfc4985a3edee6b4d286c18ea90f)
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(3)
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Teorema I: Os métodos (1), (2) e (3) são simpléticos de ordem 1.
Demonstração: Cf. referências [1] e [3]. Note que o método (3) é um caso particular do método (1).
Os integradores simpléticos de segunda ordem são
. Em geral, métodos de segunda ordem são variantes do método de Verlet, bem como o próprio método de Verlet.[3]
Störmer-Verlet I:
![{\textstyle {\mathcal {H}}:{\mathcal {P}}\rightarrow \mathbb {R} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/058dd14338b41866f0b08c20884e5834c4caffd2)
e
previamente estimados utilizando outro método (na primeira iteração).
-
![{\displaystyle {\begin{cases}p_{n}(t+\delta t/2)&\approx p_{n}(t)-{\frac {\delta t}{2}}\left.{\frac {\partial }{\partial q^{n}}}{\mathcal {H}}\right\vert _{(q(t),p(t+\delta t/2))}\\q^{n}(t+\delta t)&\approx q^{n}(t)+{\frac {\delta t}{2}}\left(\left.{\frac {\partial }{\partial p_{n}}}{\mathcal {H}}\right\vert _{(q(t),p(t+\delta t/2))}+\left.{\frac {\partial }{\partial p_{n}}}{\mathcal {H}}\right\vert _{(q(t+\delta t),p(t+\delta t/2))}\right)\\p_{n}(t+\delta t)&\approx p_{n}(t+\delta t/2)-{\frac {\delta t}{2}}\left.{\frac {\partial }{\partial q^{n}}}{\mathcal {H}}\right\vert _{(q(t+\delta t),p(t+\delta t/2))}\end{cases}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c54acb770c74ad476bd9e5c0bc2d350b954c74df)
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(4)
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Störmer-Verlet II:
![{\textstyle {\mathcal {H}}:{\mathcal {P}}\rightarrow \mathbb {R} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/058dd14338b41866f0b08c20884e5834c4caffd2)
e
previamente estimados utilizando outro método (na primeira iteração).
-
![{\displaystyle {\begin{cases}q^{n}(t+\delta t/2)&\approx q^{n}(t)+{\frac {\delta t}{2}}\left.{\frac {\partial }{\partial p_{n}}}{\mathcal {H}}\right\vert _{(q(t+\delta t/2),p(t))}\\p_{n}(t+\delta t)&\approx p_{n}(t)-{\frac {\delta t}{2}}\left(\left.{\frac {\partial }{\partial q^{n}}}{\mathcal {H}}\right\vert _{(q(t+\delta t/2),p(t))}+\left.{\frac {\partial }{\partial q^{n}}}{\mathcal {H}}\right\vert _{(q(t+\delta t/2),p(t+\delta t))}\right)\\q^{n}(t+\delta t)&\approx q^{n}(t+\delta t/2)+{\frac {\delta t}{2}}\left.{\frac {\partial }{\partial p_{n}}}{\mathcal {H}}\right\vert _{(q(t+\delta t/2),p(t+\delta t))}\end{cases}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/57db03bf19b6dea4a2d642edd2466b3286786ca4)
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(5)
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Como acontece para os métodos de Euler, o caso do hamiltoniano separável permite desenvolver métodos explícitos derivados desses, que são implícitos.
Verlet:
![{\textstyle {\mathcal {H}}(q,p)=T(p)+V(q)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8dba22f8844ec9b8a591a15b75b37b1837e76b1a)
-
![{\displaystyle {\begin{cases}q^{n}(t+\delta t/2)&\approx q^{n}(t)+{\frac {\delta t}{2}}\left.{\frac {\partial }{\partial p_{n}}}T\right\vert _{p(t)}\\p_{n}(t+\delta t)&\approx p_{n}(t)-\delta t\left.{\frac {\partial }{\partial q^{n}}}V\right\vert _{q(t+\delta t/2)}\\q^{n}(t+\delta t)&\approx q^{n}(t+\delta t/2)+{\frac {\delta t}{2}}\left.{\frac {\partial }{\partial p_{n}}}T\right\vert _{p(t+\delta t)}\end{cases}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1353c84723191dc5529d07c5273db485532232d3)
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(6)
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Teorema II: Os métodos (4), (5) e (6) são simpléticos de ordem 2.
Demonstração: Cf. referência [3] e [4]. Note que o método (6) é um caso particular do método (5).
Os integradores simpléticos de terceira ordem são
.
Ronald D. Ruth:
![{\textstyle {\mathcal {H}}(q,p)=T(p)+V(q)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8dba22f8844ec9b8a591a15b75b37b1837e76b1a)
,
,
,
e
.
-
![{\displaystyle {\begin{cases}p_{n}(t+c_{1}\delta t)&\approx p_{n}(t)-c_{1}\delta t\left.{\frac {\partial }{\partial q^{n}}}V\right\vert _{q(t)}\\q^{n}(t+d_{1}\delta t)&\approx q^{n}(t)+d_{1}{\frac {\delta t}{2}}\left.{\frac {\partial }{\partial p_{n}}}T\right\vert _{p(t+c_{1}\delta t)}\\p_{n}(t+(c_{1}+c_{2})\delta t)&\approx p_{n}(t+c_{1}\delta t)-c_{2}\delta t\left.{\frac {\partial }{\partial q^{n}}}V\right\vert _{q(t+d_{1}\delta t)}\\q^{n}(t+(d_{1}+d_{2})\delta t)&\approx q^{n}(t+d_{1}\delta t)+d_{2}\delta t\left.{\frac {\partial }{\partial p_{n}}}T\right\vert _{p(t+(c_{1}+c_{2})\delta t)}\\p_{n}(t+\delta t)&\approx p_{n}(t+(c_{1}+c_{2})\delta t)-c_{3}\delta t\left.{\frac {\partial }{\partial q^{n}}}V\right\vert _{q(t+(d_{1}+d_{2})\delta t)}\\q^{n}(t+\delta t)&\approx q^{n}(t+)+d_{3}\delta t\left.{\frac {\partial }{\partial p_{n}}}T\right\vert _{p(t+\delta t)}\\\end{cases}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f9b1e607a6eef892f9882f8e95d4d33b913c381c)
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(7)
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Por exemplo:
,
,
,
,
e
.
Teorema III: O método (7) é simplético de ordem 3.
Demonstração: Cf. referência [4].
- ↑ a b Hairer, Ernst; Hairer, Martin (2003). Blowey, James F.; Craig, Alan W.; Shardlow, Tony, eds. «GniCodes — Matlab Programs for Geometric Numerical Integration». Berlin, Heidelberg: Springer Berlin Heidelberg (em inglês): 199–240. ISBN 978-3-540-44319-3. doi:10.1007/978-3-642-55692-0_5. Consultado em 18 de fevereiro de 2023
- ↑ «ode - What does "symplectic" mean in reference to numerical integrators, and does SciPy's odeint use them?». Computational Science Stack Exchange (em inglês). Consultado em 18 de fevereiro de 2023
- ↑ a b c Hairer, Ernst (Fevereiro de 2010). «Geometric Numerical Integration» (PDF). Consultado em 18 de Fevereiro de 2023
- ↑ a b Ruth, Ronald D. (agosto de 1983). «A Can0nical Integrati0n Technique». IEEE Transactions on Nuclear Science (4): 2669–2671. ISSN 0018-9499. doi:10.1109/TNS.1983.4332919. Consultado em 18 de fevereiro de 2023