A interpolação trigonométrica é um método de aproximar uma função por meio de uma soma de funções trigonométricas, isto é, funções seno e cosseno, de diferentes frequências, o objetivo da interpolação trigonométrica é encontrar uma função que passe por um determinado conjunto de pontos de dados, mas que também tenha um comportamento suave e periódico.[1]
Na interpolação trigonométrica, a função é representada como uma série de Fourier, que é uma soma infinita de funções trigonométricas com diferentes frequências e coeficientes. Escolhendo as frequências e coeficientes apropriados, a série de Fourier pode ser usada para aproximar os pontos de dados.[2]
A interpolação trigonométrica tem aplicações em muitas áreas, incluindo processamento de sinais, compressão de áudio e imagem e análise numérica. Também é usada no estudo de análise harmônica e análise de Fourier.[3]
O polinômio trigonométrico de grau n tem a forma:
![{\displaystyle p(x)=a_{0}+\sum _{j=1}^{n}a_{j}\cos(jx)+\sum _{j=1}^{n}b_{j}\sin(jx).\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7c3bad12128bae3122db0ba16e68cb79303b0586)
com
coeficientes:
.
Todo problema de interpolação é descrito como
![{\displaystyle f(x_{k})=y_{k}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0d1569800975a743b0b5efe7ec7198066b28bcb9)
, onde
. Como o polinômio trigonométrico tem período
, podemos assumir que
O problema agora é encontrar coeficientes, de forma que o polinômio trigonométrico satisfaça as condições de interpolação.
Se o número de pontos for ímpar: ![{\displaystyle m={\frac {n-1}{2}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/065dcfd7ca3ee9a7a55b9e055b427f28bf70fda8)
e
![{\displaystyle \Psi (x)={\frac {A_{0}}{2}}+\sum _{k=1}^{m}[A_{k}\cdot \cos(k\cdot x)+B_{k}\cdot \sin(k\cdot x)]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9218706b2c1937a2e7e29f7b3a1cf0527069fb3b)
Se o número de pontos for par:
![{\displaystyle m={\frac {n}{2}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/55789405263d50f683a0b51b06e5f8eb12c9c749)
e
![{\displaystyle \Psi (x)={\frac {A_{0}}{2}}+\sum _{k=1}^{m-1}[A_{k}\cdot \cos(k\cdot x)+B_{k}\cdot \sin(k\cdot x)]+{\frac {A_{m}}{2}}\cdot \cos(m\cdot x)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b2a90ebb199148553861350d2f93ec15ea3a4a27)
Para ambos os casos:
![{\displaystyle A_{j}={\frac {2}{n}}\sum _{k=0}^{n-1}[f(x_{k})\cdot \cos(j\cdot x_{k})]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e9241f26f211800ed7260f61bcb35224ef1a3521)
![{\displaystyle B_{j}={\frac {2}{n}}\sum _{k=0}^{n-1}[f(x_{k})\cdot \sin(j\cdot x_{k})]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/84f84675fcdb565c090089e0df6cea5851b05adf)
Utilizando a fórmula de De Moivre, podemos reescrever a soma de seno e cosseno como
Então o polinômio pode ser escrito como
![{\displaystyle p(x)=\sum _{k=-n}^{n}c_{k}e^{ikx},\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4560a682d7fe2e5056a2838ee33666b15e03c902)
onde
,
e ![{\displaystyle c_{-}k={\frac {1}{2}}(a_{k}-ib_{k})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7a5a1c943922ea566e783caa6ef547f602221a2a)
Se
podemos reescrever
como ![{\displaystyle p_{n}(z)=\sum _{k=-n}^{n}c_{k}z^{k},\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3b19cc1fad20ba55c8f04d325427811d68e08ce7)
onde
é um polinômio de grau ![{\displaystyle \leq 2n.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0b89ffaf1b3e66c8e2acea3efe6999a486962917)
O problema de interpolação, então, resume-se a
Encontrar o polinômio interpolador trigonométrico de grau dois para
em
de forma que
e
onde ![{\displaystyle l=0,1,2,3,4.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c288cc9b9dd6caff484f2c6132b8da6795895c9c)
![{\displaystyle a_{l}={\frac {2}{2n+1}}\sum _{k=0}^{2n}f(t_{k})coslt_{k},\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b78330cb2b38bb5da19d9db6f45c2e523518102f)
![{\displaystyle b_{l}={\frac {2}{2n+1}}\sum _{k=0}^{2n}f(t_{k})sinlt_{k},\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/52f4817dad92ec488cf036b9c1c6817deb32081d)
Interpolar os seguintes pontos:
![{\displaystyle {\begin{array}{|c||cccc|}k&0&1&2&3\\f_{k}&1&3&-2&-1\end{array}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/234f9ba4e2eab4397ffa9ad474c0171aa3e9da9a)
Número de pontos
(par) Grau: ![{\displaystyle m={\frac {n}{2}}=2}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9c436c01984bb14d25a6fc117845c45fb4fb1091)
![{\displaystyle x_{k}=k\cdot {\frac {2\pi }{4}}\Rightarrow x_{k}=\left\{0,\ {\frac {\pi }{2}},\ \pi ,\ {\frac {3}{2}}\pi \right\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/103523c87a2d74e51d38b69d39ec5d491a841bca)
![{\displaystyle A_{0}={\frac {2}{n}}\sum \limits _{k=0}^{n-1}f_{k}\cdot \cos(k\cdot x_{k})={\frac {2}{4}}\sum \limits _{k=0}^{3}f_{k}\cdot \cos(k\cdot 0)={\frac {1}{2}}(1\cdot 1+3\cdot 1-2\cdot 1-1\cdot 1)={\frac {1}{2}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/95abf20279ffa3074e27d030e5a5f93ff8d6a585)
![{\displaystyle A_{1}={\frac {2}{4}}\sum \limits _{k=0}^{3}f_{k}\cdot \cos(k\cdot x_{k})={\frac {1}{2}}[1\cdot \cos(0)+3\cdot \cos({\frac {\pi }{2}})-2\cdot \cos(\pi )-1\cdot \cos({\frac {3}{2}}\pi )]={\frac {3}{2}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b8361f98eec07a81cd5010758476c4fa71aeed20)
![{\displaystyle A_{2}={\frac {2}{4}}\sum \limits _{k=0}^{3}f_{k}\cdot \cos(k\cdot x_{k})={\frac {1}{2}}[1\cdot \cos(0)+3\cdot \cos(\pi )-2\cdot \cos(2\pi )-1\cdot \cos(3\pi )]=-{\frac {3}{2}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/05fecc45d986154a387bc5108b5e8e1c4d593131)
![{\displaystyle B_{0}={\frac {2}{n}}\sum \limits _{k=0}^{n-1}f_{k}\cdot \sin(k\cdot x_{k})=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/de16d84078f3469c6848a24270c431a7f1aa3074)
![{\displaystyle B_{1}={\frac {2}{4}}\sum \limits _{k=0}^{n-1}f_{k}\cdot \sin(k\cdot x_{k})={\frac {1}{2}}[1\cdot 0+3\cdot 1-2\cdot 0-1\cdot (-1)]=2}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9aa9cd80b73ee7c66b2483aaf2c1dddbcdc5a20a)
![{\displaystyle B_{2}={\frac {2}{n}}\sum \limits _{k=0}^{n-1}f_{k}\cdot \sin(k\cdot x_{k})=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5ddc5f0cb71d1193c1ba2dfa513c722cb047df95)
- Resultado:
![{\displaystyle \Theta (x)={\frac {1}{4}}+A_{1}\cdot \cos(x)+B_{1}\cdot \sin(x)+{\frac {A_{2}}{2}}\cdot \cos(2x)={\frac {1}{4}}+{\frac {3}{2}}\cos(x)+2\sin(x)-{\frac {3}{4}}\cos(2x)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4e567b9924c9738b36a2d20d788b216b0fe0fd47)
- ↑ Stoer, J.; Bulirsch, R. (2002). Introduction to Numerical Analysis. [S.l.]: Springer
- ↑ Kaminski, D. (2008). Fourier Analysis. [S.l.]: Cengage Learning
- ↑ Gautschi, W. (2012). Numerical Analysis. [S.l.]: Birkhauser