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Isomorfismo musical

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Em matemática, o isomorfismo musical (ou isomorfismo canônico) é um isomorfismo entre o fibrado tangente TM e o fibrado cotangente TM e uma variedade de Riemann dada por sua métrica. Existem isomorfismos similares em variedades simpléticas. O termo musical refere-se ao uso dos símbolos e .[1][2]

Introdução[editar | editar código-fonte]

Uma métrica g em uma variedade Riemanniana M é um campo tensorial que é simétrico, não degenerado e positivo-definido. Ao fixar-se um dos dois parâmetros como um vetor , se obtém um isomorfismo de espaços vectoriais:

definido por:

ou seja,

Globalmente,

é um difeomorfismo.

Detalhes da motivação para o nome[editar | editar código-fonte]

O isomorfismo e seu inverso se denominam isomorfismos musicais porque sobem a baixam os índices dos vetores. Por exemplo, um vetor de TM é escrito como e um covetor como , assim que o índice i sobe e baixa em do mesmo modo que os símbolos sustenido () e bemol () sobem e baixam um semitom.

Gradiente[editar | editar código-fonte]

Os isomorfismos musicais podem ser usados para definir o gradiente de uma função diferenciável sobre uma variedade riemanniana M como:

Ver também[editar | editar código-fonte]

Referências