A lagrangiana de Darwin (nomeado em homenagem a Charles Galton Darwin, neto do naturalista) descreve a interação que conduz a
entre duas partículas carregadas no vácuo, em que c é a velocidade da luz. Foi derivado antes do advento da mecânica quântica e resultou de uma investigação mais detalhada das interações eletromagnéticas clássicas dos elétrons em um átomo. A partir do modelo de Bohr sabia-se que eles deveriam estar se movendo com velocidades próximas à da luz.[1]
A lagrangiana completa para duas partículas em interação é
![{\displaystyle L=L_{\text{f}}+L_{\text{int}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fac89e0eab314d48d28138e2df6bce73fccd0079)
onde a parte da partícula livre é
![{\displaystyle L_{\text{f}}={\frac {1}{2}}m_{1}v_{1}^{2}+{\frac {1}{8c^{2}}}m_{1}v_{1}^{4}+{\frac {1}{2}}m_{2}v_{2}^{2}+{\frac {1}{8c^{2}}}m_{2}v_{2}^{4},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/55f1cd621cd3778cd0cde7e2dce1a2830939a913)
A interação é descrita como
![{\displaystyle L_{\text{int}}=L_{\text{C}}+L_{\text{D}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/757b83910d77d56d26b91a89f0fd8dc9b885123a)
onde a
interação de Coulomb em
unidades gaussianas é
![{\displaystyle L_{\text{C}}=-{\frac {q_{1}q_{2}}{r}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/56e0619e4158731a68dd8f6d392c74f242501972)
enquanto a interação de
Darwin é
![{\displaystyle L_{\text{D}}={\frac {q_{1}q_{2}}{r}}{\frac {1}{2c^{2}}}\mathbf {v} _{1}\cdot \left[\mathbf {1} +{\hat {\mathbf {r} }}{\hat {\mathbf {r} }}\right]\cdot \mathbf {v} _{2}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6e9113c3dbbde635ea23b757bc2c79869ceb5dc5)
Aqui
q1 e
q2 são as cargas nas partículas 1 e 2, respectivamente,
m1 e
m2 são as massas das partículas,
v1 e
v2 são as velocidades das partículas,
c é a
velocidade da luz,
r é o vetor entre as duas partículas, e
![{\displaystyle {\hat {\mathbf {r} }}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9740464b71653e12932278ee944540be8caa5b96)
é o
vetor unitário na direção de
r.
A primeira parte é a expansão de Taylor da lagrangiana livre de duas partículas relativísticas de segunda ordem em v. O termo de interação de Darwin é devido a uma partícula reagindo ao campo magnético gerado pela outra partícula. Se termos de ordem superior em v/c forem retidos, então os graus de liberdade do campo devem ser levados em consideração, e a interação não pode mais ser considerada instantânea entre as partículas. Nesse caso, os efeitos de retardo devem ser levados em conta.[2]:
A interação relativística lagrangiana para uma partícula com carga q interagindo com um campo eletromagnético é[2]:
![{\displaystyle L_{\text{int}}=-q\Phi +{\frac {q}{c}}\mathbf {u} \cdot \mathbf {A} ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5f5618c2d5eae9ea31ebb1c5e545c95e0d050e7f)
onde
u é a velocidade relativística da partícula. O primeiro termo à direita gera a interação de Coulomb. O segundo termo gera a interação de Darwin.
O vetor potencial in the calibre de Coulomb é descrito por[2]:242
![{\displaystyle \nabla ^{2}\mathbf {A} -{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}\mathbf {A} }{\partial t^{2}}}=-{\frac {4\pi }{c}}\mathbf {J} _{t}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/40276cee679b36316a084ad293f5d751c22ef482)
onde a corrente transversal
Jt é a
corrente solenoidal (ver
decomposição de Helmholtz) gerado por uma segunda partícula. A
divergência da corrente transversal é zero.
A corrente gerada pela segunda partícula é
![{\displaystyle \mathbf {J} =q_{2}\mathbf {v} _{2}\delta {\left(\mathbf {r} -\mathbf {r} _{2}\right)},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/891bcc38c35d6cfa04e7372e5c5e852f7b88af87)
a qual tem uma
transformada de Fourier
![{\displaystyle \mathbf {J} \left(\mathbf {k} \right)\equiv \int d^{3}r\exp \left(-i\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} \right)\mathbf {J} \left(\mathbf {r} \right)=q_{2}\mathbf {v} _{2}\exp \left(-i\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} _{2}\right).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ac6d5ff4ac0fc7047fc0499fdf7084eb3e2a40e6)
A componente transversal da corrente é
![{\displaystyle \mathbf {J} _{t}(\mathbf {k} )=q_{2}\left[\mathbf {1} -{\hat {\mathbf {k} }}{\hat {\mathbf {k} }}\right]\cdot \mathbf {v} _{2}e^{-i\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} _{2}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3e6da688e934aee5a0e7464ce7fd8ce5e37d3ede)
É facilmente verificado que
![{\displaystyle \mathbf {k} \cdot \mathbf {J} _{t}(\mathbf {k} )=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cd5e7661ee63a8487b55052e045fb2087933d600)
o qual deve ser verdadeiro se a divergência da corrente transversal for zero. Vemos que
![{\displaystyle \mathbf {J} _{t}(\mathbf {k} )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/662ea5b951d738e8f5a0a29bc232d9c821282887)
é a componente da corrente transformada de Fourier perpendicular a
k.
Da equação do potencial vetorial, a transformada de Fourier do potencial vetorial é
![{\displaystyle \mathbf {A} \left(\mathbf {k} \right)={\frac {4\pi }{c}}{\frac {q_{2}}{k^{2}}}\left[\mathbf {1} -{\hat {\mathbf {k} }}{\hat {\mathbf {k} }}\right]\cdot \mathbf {v} _{2}e^{-i\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} _{2}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2600ba7654c6905f5cd7c0172e3885ea5fd5994b)
onde mantivemos apenas o termo de ordem mais baixa em
v/c.
A transformada inversa de Fourier do potencial vetorial é
![{\displaystyle \mathbf {A} \left(\mathbf {r} \right)=\int {\frac {d^{3}k}{\left(2\pi \right)^{3}}}\;\mathbf {A} (\mathbf {k} )\;e^{i\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} _{1}}={\frac {q_{2}}{2c}}{\frac {1}{r}}\left[\mathbf {1} +{\hat {\mathbf {r} }}{\hat {\mathbf {r} }}\right]\cdot \mathbf {v} _{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4f338d44b4d0057c127c0cb0f23d1c50d24cffcf)
onde
![{\displaystyle \mathbf {r} =\mathbf {r} _{1}-\mathbf {r} _{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d67120d18e5178eeaf70f2d4094d32fa43f43f21)
O termo da interação de Darwin na lagrangiana é então
![{\displaystyle L_{\text{D}}={\frac {q_{1}q_{2}}{r}}{\frac {1}{2c^{2}}}\mathbf {v} _{1}\cdot \left[\mathbf {1} +{\hat {\mathbf {r} }}{\hat {\mathbf {r} }}\right]\cdot \mathbf {v} _{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/36aea5f289bf84d540f457797d5842e6431a11f8)
onde novamente mantivemos apenas o termo de menor ordem em
v/c.
A equação de movimento de uma das partículas é
![{\displaystyle {\frac {d}{dt}}{\frac {\partial }{\partial \mathbf {v} _{1}}}L\left(\mathbf {r} _{1},\mathbf {v} _{1}\right)=\nabla _{1}L\left(\mathbf {r} _{1},\mathbf {v} _{1}\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0da8494e214ccc689d394811ad3a1563e574380e)
![{\displaystyle {\frac {d\mathbf {p} _{1}}{dt}}=\nabla _{1}L\left(\mathbf {r} _{1},\mathbf {v} _{1}\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0e1cc3192bd28990d83b35acd68f66e3335bec43)
onde
p1 é o
momento da partícula.
A equação de movimento para uma partícula livre desprezando as interações entre as duas partículas é
![{\displaystyle {\frac {d}{dt}}\left[\left(1+{\frac {1}{2}}{\frac {v_{1}^{2}}{c^{2}}}\right)m_{1}\mathbf {v} _{1}\right]=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bf4a3351f2d4f475486219002df10575a8ce6663)
![{\displaystyle \mathbf {p} _{1}=\left(1+{\frac {1}{2}}{\frac {v_{1}^{2}}{c^{2}}}\right)m_{1}\mathbf {v} _{1}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e1257c98b77691bf0dcb892b44369130f7d9e7a2)
Para partículas em interação, a equação de movimento torna-se
![{\displaystyle {\frac {d}{dt}}\left[\left(1+{\frac {1}{2}}{\frac {v_{1}^{2}}{c^{2}}}\right)m_{1}\mathbf {v} _{1}+{\frac {q_{1}}{c}}\mathbf {A} \left(\mathbf {r} _{1}\right)\right]=-\nabla {\frac {q_{1}q_{2}}{r}}+\nabla \left[{\frac {q_{1}q_{2}}{r}}{\frac {1}{2c^{2}}}\mathbf {v} _{1}\cdot \left[\mathbf {1} +{\hat {\mathbf {r} }}{\hat {\mathbf {r} }}\right]\cdot \mathbf {v} _{2}\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/06b1c447d2fe9f397c9386017097de26008963d1)
![{\displaystyle {\frac {d\mathbf {p} _{1}}{dt}}={\frac {q_{1}q_{2}}{r^{2}}}{\hat {\mathbf {r} }}+{\frac {q_{1}q_{2}}{r^{2}}}{\frac {1}{2c^{2}}}\left\{\mathbf {v} _{1}\left({{\hat {\mathbf {r} }}\cdot \mathbf {v} _{2}}\right)+\mathbf {v} _{2}\left({{\hat {\mathbf {r} }}\cdot \mathbf {v} _{1}}\right)-{\hat {\mathbf {r} }}\left[\mathbf {v} _{1}\cdot \left(\mathbf {1} +3{\hat {\mathbf {r} }}{\hat {\mathbf {r} }}\right)\cdot \mathbf {v} _{2}\right]\right\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5e5a25f61ef94a564b36473341245aba29b146fc)
![{\displaystyle \mathbf {p} _{1}=\left(1+{\frac {1}{2}}{\frac {v_{1}^{2}}{c^{2}}}\right)m_{1}\mathbf {v} _{1}+{\frac {q_{1}}{c}}\mathbf {A} \left(\mathbf {r} _{1}\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f2ec8e080df6357abf73271957e606dfc79744e3)
![{\displaystyle \mathbf {A} \left(\mathbf {r} _{1}\right)={\frac {q_{2}}{2c}}{\frac {1}{r}}\left[\mathbf {1} +{\hat {\mathbf {r} }}{\hat {\mathbf {r} }}\right]\cdot \mathbf {v} _{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b6307f3eeaccf2e9790631bcf391fde9ff37e5c9)
![{\displaystyle \mathbf {r} =\mathbf {r} _{1}-\mathbf {r} _{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d67120d18e5178eeaf70f2d4094d32fa43f43f21)
A hamiltoniana de Darwin para duas partículas no vácuo está relacionado à lagrangiana por uma transformada de Legendre, isto é,
![{\displaystyle H=\mathbf {p} _{1}\cdot \mathbf {v} _{1}+\mathbf {p} _{2}\cdot \mathbf {v} _{2}-L.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/75053e89651abc3b3458c8f73eb2f4037e992d3d)
A hamiltoniana torna-se
![{\displaystyle H\left(\mathbf {r} _{1},\mathbf {p} _{1},\mathbf {r} _{2},\mathbf {p} _{2}\right)=\left(1-{\frac {1}{4}}{\frac {p_{1}^{2}}{m_{1}^{2}c^{2}}}\right){\frac {p_{1}^{2}}{2m_{1}}}\;+\;\left(1-{\frac {1}{4}}{\frac {p_{2}^{2}}{m_{2}^{2}c^{2}}}\right){\frac {p_{2}^{2}}{2m_{2}}}\;+\;{\frac {q_{1}q_{2}}{r}}\;-\;{\frac {q_{1}q_{2}}{r}}{\frac {1}{2m_{1}m_{2}c^{2}}}\mathbf {p} _{1}\cdot \left[\mathbf {1} +\mathbf {\hat {r}} \mathbf {\hat {r}} \right]\cdot \mathbf {p} _{2}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/021aa970fec662c381d17bb821c8cc1d1d6dabf8)
Essa hamiltoniana fornece a energia de interação entre as duas partículas. Argumentou-se recentemente que, quando expressas em termos de velocidades de partículas, deveríamos simplesmente definir
no último termo e inverter seu sinal.[3]
As equações de movimento hamiltonianas são
![{\displaystyle \mathbf {v} _{1}={\frac {\partial H}{\partial \mathbf {p} _{1}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f53bf6756d148c6d5a0a4c2400332ddf460db58a)
e
![{\displaystyle {\frac {d\mathbf {p} _{1}}{dt}}=-\nabla _{1}H,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/208aa8a03e0bfcfa4452e3bf0592b0c1da04d363)
a qual resulta
![{\displaystyle \mathbf {v} _{1}=\left(1-{\frac {1}{2}}{\frac {p_{1}^{2}}{m_{1}^{2}c^{2}}}\right){\frac {\mathbf {p} _{1}}{m_{1}}}-{\frac {q_{1}q_{2}}{2m_{1}m_{2}c^{2}}}{\frac {1}{r}}\left[\mathbf {1} +{\hat {\mathbf {r} }}{\hat {\mathbf {r} }}\right]\cdot \mathbf {p} _{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3b04496acc47ab8463749716ee68826f4bf05f5c)
e
![{\displaystyle {\frac {d\mathbf {p} _{1}}{dt}}={\frac {q_{1}q_{2}}{r^{2}}}{\hat {\mathbf {r} }}\;+\;{\frac {q_{1}q_{2}}{r^{2}}}{\frac {1}{2m_{1}m_{2}c^{2}}}\left\{\mathbf {p} _{1}\left({{\hat {\mathbf {r} }}\cdot \mathbf {p} _{2}}\right)+\mathbf {p} _{2}\left({{\hat {\mathbf {r} }}\cdot \mathbf {p} _{1}}\right)-{\hat {\mathbf {r} }}\left[\mathbf {p} _{1}\cdot \left(\mathbf {1} +3{\hat {\mathbf {r} }}{\hat {\mathbf {r} }}\right)\cdot \mathbf {p} _{2}\right]\right\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cbba3d869503deff12db24435db9eaf0c8730327)
A estrutura da interação de Darwin também pode ser vista claramente em eletrodinâmica quântica e devido à troca de fótons na ordem mais baixa de teoria da perturbação. Quando o fóton tem quadrimomento pμ = ħkμ com vetor de onda kμ = (ω /c, k), seu propagador no calibre de Coulomb tem dois componentes.[4]
![{\displaystyle D_{00}(k)={1 \over \mathbf {k} ^{2}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4874f3df5f74da679b951018932c66adb1ddfd62)
resulta na interação de Coulomb entre duas partículas carregadas, enquanto
![{\displaystyle D_{ij}(k)={1 \over \omega ^{2}-c^{2}\mathbf {k} ^{2}}\left(\delta _{ij}-{k_{i}k_{j} \over \mathbf {k} ^{2}}\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/653f2d3e18de4dee89f38131a13000ace893329a)
descreve a troca de um fóton transversal. Tem um vetor de polarização
e acopla-se a uma partícula com carga
e trimomento
com uma força
Dado que
neste calibre, não importa se usamos o momento da partícula antes ou depois do fóton se acoplar a ela.
Na troca do fóton entre as duas partículas, pode-se ignorar a frequência
comparada com
no propagador trabalhando com a precisão em
que é necessária aqui. As duas partes do propagador então resultam juntas a hamiltoniana efetiva
![{\displaystyle H_{int}(\mathbf {k} )={4\pi q_{1}q_{2} \over \mathbf {k} ^{2}}-{4\pi q_{1}q_{2} \over m_{1}m_{2}c^{2}\mathbf {k} ^{2}}\mathbf {p} _{1}\cdot \left(\mathbf {1} -{\hat {\mathbf {k} }}{\hat {\mathbf {k} }}\right)\cdot \mathbf {p} _{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/824b7f4308d342aae955cf190fc81de12db153eb)
por sua interação no espaço k. Isto é agora idêntico ao resultado clássico e não há vestígios dos efeitos quânticos usados nesta derivação.
Um cálculo semelhante pode ser feito quando o fóton se acopla a partículas de Dirac com spin s = 1/2 e usado para uma derivação da equação de Breit. Isso resulta o mesmo que a interação de Darwin mas também termos adicionais envolvendo os graus de liberdade do spin e dependendo da constante de Planck.[4]
Referências
- ↑ C.G. Darwin, The Dynamical Motions of Charged Particles, Philosophical Magazine 39, 537-551 (1920).
- ↑ a b c Jackson, John D. (1998). Classical Electrodynamics 3rd ed. [S.l.]: Wiley. ISBN 047130932X
- ↑ K.T. McDonald, Darwin Energy Paradoxes, Princeton University (2019).
- ↑ a b V. B. Berestetskii, E. M. Lifshitz, and L. P. Pitaevskii, Relativistic Quantum Theory, Pergamon Press, Oxford (1971).