Saltar para o conteúdo

Limites iterados

Origem: Wikipédia, a enciclopédia livre.

Em cálculo com múltiplas variáveis, os limites iterados são apresentados como expressões do tipo

Temos, assim, uma expressão cujo valor depende de, ao menos, duas variáveis. Tomando o limite em relação a uma dessas variáveis, ou seja, tomando , nos aproximamos de uma expressão cujo valor depende apenas da outra e, então, tomando o limite em relação a essa outra variável, , nos aproximamos de um número, que representa um dos limites iterados para essas variáveis. O outro limite iterado é dado por .

Essa definição difere da expressão , que não é um limite iterado, mas sim um Limite Duplo. Nesse caso, o significado da expressão é que o limite da função de mais de uma variável se aproxima tanto de um determinado número L tanto quanto aproximamos do ponto . Ou seja, não envolve tomar um limite e, então, o outro, mas sim analisar o comportamento da função em torno do ponto desejado por vários caminhos.

Deve-se considerar que, em geral, os três limites acima (os dois iterados e o duplo) não levam a resultados comuns, ou seja, em geral

.

Exemplos e condições nos quais as trocas de ordem dos operadores de limite são aceitas serão analisados nas seções seguintes.

Definição formal

[editar | editar código-fonte]

Suponha , onde é um espaço métrico completo e, ainda e , onde e são os conjuntos de pontos de acumulação de e , respectivamente. Sejam, então, e , chamamos de limites iterados as expressões e . Chamamos, ainda, de limite duplo a expressão

Acima atentamos para o fato de que os limites iterados e duplo nem sempre tem resultados iguais. Aliás, pode-se adicionar o fato de que os limites iterados nem sempre existem. Abaixo seguem alguns exemplos de funções e o cálculo dos limites iterados relacionados a essas funções.

Sejam as funções abaixo definidas de forma que, ,

(1)

Temos e , de onde segue

e , ou seja

.

.

(2)

, de onde .

Mas, e, portanto, .

.

(3) ,

Temos , mas .

Deve-se atentar ao fato de que os limites iterados nem sempre são iguais e, mesmo que sejam, isso não é condição suficiente para garantir que o limite duplo também o seja. Tomemos o seguinte exemplo,

(4) [1]

Oras, , logo

Mas o limite duplo em torno do caminho é dado por,

Troca da ordem dos operadores de limite

[editar | editar código-fonte]

Já vimos que a operação de limites não é comutativa. Existem, contato, algumas condições que permitem a troca de operadores de limites.[2]

Seja uma função de um subconjunto em e , onde são espaços métricos. Se

(i)

(ii) para cada

então .

DEMONSTRAÇÃO

Como , então, da definição,

, .

Usando o fato de que e a continuidade da função norma, então .

Segue que , de modo que .

Teorema do intercâmbio de limites

[editar | editar código-fonte]

Seja uma função em um espaço métrico completo, onde e são subconjuntos dos espaços métricos e , respectivamente, e seja . Se

(i) ,

(ii) existe uniformemente em

então os três limites existem e são iguais.

DEMONSTRAÇÃO

Seja arbitrário.

De (ii) temos, pela definição

(1)

Seja , usando (i), segue

(2)

Seja a vizinhança do ponto dada na forma

e sejam os pontos

Da desigualdade triangular segue

Por (1) e (2), cada termo do lado direito da desigualdade são menores que

Decorre disso que

Assim, a função satisfaz o critério de Cauchy no ponto e, como é um espaço métrico completo, existe .

Da proposição anterior, junto com (i), segue e, com (ii) que . O que conclui a demonstração.

Referências

  1. Stewart, James (2008). «Capítulo 15.2 Limites e Continuidade». Cálculo Multivariável 6ª ed. [S.l.: s.n.] ISBN 0495011630 
  2. Zoran Kadelburg; Milosav M. Marjanovi´ (2005). «Interchanging Two Limits» (PDF). THE TEACHING OF MATHEMATICS. VIII: 15-29. Consultado em 14 de dezembro de 2014