Em cálculo com múltiplas variáveis, os limites iterados são apresentados como expressões do tipo
Temos, assim, uma expressão cujo valor depende de, ao menos, duas variáveis. Tomando o limite em relação a uma dessas variáveis, ou seja, tomando , nos aproximamos de uma expressão cujo valor depende apenas da outra e, então, tomando o limite em relação a essa outra variável, , nos aproximamos de um número, que representa um dos limites iterados para essas variáveis. O outro limite iterado é dado por .
Essa definição difere da expressão , que não é um limite iterado, mas sim um Limite Duplo. Nesse caso, o significado da expressão é que o limite da função de mais de uma variável se aproxima tanto de um determinado número L tanto quanto aproximamos do ponto . Ou seja, não envolve tomar um limite e, então, o outro, mas sim analisar o comportamento da função em torno do ponto desejado por vários caminhos.
Deve-se considerar que, em geral, os três limites acima (os dois iterados e o duplo) não levam a resultados comuns, ou seja, em geral
.
Exemplos e condições nos quais as trocas de ordem dos operadores de limite são aceitas serão analisados nas seções seguintes.
Suponha , onde é um espaço métrico completo e, ainda e , onde e são os conjuntos de pontos de acumulação de e , respectivamente. Sejam, então, e , chamamos de limites iterados as expressões e . Chamamos, ainda, de limite duplo a expressão
Acima atentamos para o fato de que os limites iterados e duplo nem sempre tem resultados iguais. Aliás, pode-se adicionar o fato de que os limites iterados nem sempre existem. Abaixo seguem alguns exemplos de funções e o cálculo dos limites iterados relacionados a essas funções.
Sejam as funções abaixo definidas de forma que, ,
(1)
Temos e , de onde segue
e , ou seja
.
.
(2)
, de onde .
Mas, e, portanto, .
.
(3) ,
Temos , mas .
Deve-se atentar ao fato de que os limites iterados nem sempre são iguais e, mesmo que sejam, isso não é condição suficiente para garantir que o limite duplo também o seja. Tomemos o seguinte exemplo,
(4) [1]
Oras, , logo
Mas o limite duplo em torno do caminho é dado por,
Já vimos que a operação de limites não é comutativa. Existem, contato, algumas condições que permitem a troca de operadores de limites.[2]
Seja uma função de um subconjunto em e , onde são espaços métricos. Se
(i)
(ii) para cada
então .
DEMONSTRAÇÃO
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Como , então, da definição,
, .
Usando o fato de que e a continuidade da função norma, então .
Segue que , de modo que .
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Seja uma função em um espaço métrico completo, onde e são subconjuntos dos espaços métricos e , respectivamente, e seja . Se
(i) ,
(ii) existe uniformemente em
então os três limites existem e são iguais.
DEMONSTRAÇÃO
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Seja arbitrário.
De (ii) temos, pela definição
(1)
Seja , usando (i), segue
(2)
Seja a vizinhança do ponto dada na forma
e sejam os pontos
Da desigualdade triangular segue
Por (1) e (2), cada termo do lado direito da desigualdade são menores que
Decorre disso que
Assim, a função satisfaz o critério de Cauchy no ponto e, como é um espaço métrico completo, existe .
Da proposição anterior, junto com (i), segue e, com (ii) que . O que conclui a demonstração.
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Referências
- ↑ Stewart, James (2008). «Capítulo 15.2 Limites e Continuidade». Cálculo Multivariável 6ª ed. [S.l.: s.n.] ISBN 0495011630
- ↑ Zoran Kadelburg; Milosav M. Marjanovi´ (2005). «Interchanging Two Limits» (PDF). THE TEACHING OF MATHEMATICS. VIII: 15-29. Consultado em 14 de dezembro de 2014