Em matemática, uma norma matricial é uma norma definida para matrizes.
Seja
o espaço vetorial das matrizes
reais ou complexas. Uma norma
é uma função que associa a cada matriz um número real não negativo e satisfaz as propriedades
- [1]
![{\displaystyle \|A\|=0\Leftrightarrow A=0\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a9dfca5bc920ba601128626e550f2b11d25b3e0d)
![{\displaystyle \|\lambda A\|=|\lambda |\|A\|\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8bae05364cd634caefd6c8b6ab207fb14d401bf4)
![{\displaystyle \|A+B\|\leq \|A\|+\|B\|\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6a858932c705a7bbd7ff04e52c63136bbf128a6d)
Quando uma matriz
é vista como um operador entre os espaços euclidianos
e
, a norma natural é dada pela norma operacional:
![{\displaystyle \|A\|=\sup _{x\in \mathbb {R} ^{n},x\neq 0}{\frac {\|Ax\|}{\|x\|}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/04ddc557ed291ddfb4e41ebd94dfcc28c135a621)
A definição é análoga para o caso complexo.
Esta norma tem seguintes propriedades adicionais:
, sempre que o produto está bem definido
onde
é a matriz identidade.
Seja
uma matriz
. A norma infinito ou norma do máximo da matriz
, denotada por
, é o número não negativo
![{\displaystyle \|A\|_{\infty }=\max _{1\leq i\leq r}\sum _{j=1}^{s}|a_{ij}|\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0e70a799a140021f58302065aeba4e9afa5480bb)
(a maior soma absoluta das linhas)[2]
Seja
uma matriz
. A norma 1 da matriz
, denotada por
, é o número não negativo
![{\displaystyle \|A\|_{1}=\max _{1\leq j\leq s}\sum _{i=1}^{r}|a_{ij}|\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1ba858aa1a5d343b7ddd597c88a605fb986b592d)
A norma da matriz
, por exemplo, é
[3]
Estas normas vetoriais tratam uma matriz
como um vetor
de tamanho
e utilizam uma das normas vetoriais usuais.
Por exemplo, usando-se a p-norma para vetores, temos:
![{\displaystyle \Vert A\Vert _{p}=\left(\sum _{i=1}^{m}\sum _{j=1}^{n}|a_{ij}|^{p}\right)^{1/p}.\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/39aa6eb0c899cb6e5711add9c2e0c1b183882569)
Esta é uma norma diferente das demais normas de matrizes, porém a notação é a
mesma.
O caso especial p = 2 é a norma de Frobenius, e p = ∞ dá a
nórma do máximo.
A norma de Frobenius é sub-multiplicativa e é muito útil em álgebra linear numérica.
Esta norma costuma ser mais simples de calcular que as demais normas.
Se a norma vetorial de
é dada, então se define a correspondente norma matricial induzida como os seguintes máximos:
![{\displaystyle {\begin{aligned}\|A\|&=\max\{\|Ax\|:x\in R^{n}{\mbox{ with }}\|x\|=1\}\\&=\max \left\{{\frac {\|Ax\|}{\|x\|}}:x\in R^{n}{\mbox{ with }}x\neq 0\right\}.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6eef733c0f7afe319844d386277c81c7ac8e2cb0)
A norma do operador correspondente à p-norma vetorial é:
![{\displaystyle \left\|A\right\|_{p}=\max \limits _{x\neq 0}{\frac {\left\|Ax\right\|_{p}}{\left\|x\right\|_{p}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/29f8885f68c5b9dd97c6b36826c26482d71518fd)
No caso de
e
, as normas podem ser calculadas como:
que é simplesmente a máximo soma das coluna em absoluto.
que é simplesmente a máxima soma das linhas em absoluto da matriz.
- Demonstração para o caso p=1
Por um lado, considere
![{\displaystyle {\frac {\left\|Ax\right\|}{\left\|x\right\|}}={\frac {\sum _{j=1}^{n}|\sum _{i=1}^{n}a_{ij}x_{j}|}{\sum _{i=1}^{n}|x_{i}|}}\leq {\frac {\sum _{j=1}^{n}\sum _{i=1}^{n}|a_{ij}||x_{j}|}{\sum _{i=1}^{n}|x_{i}|}}\leq {\frac {\sum _{j=1}^{n}\max \limits _{1\leq j\leq n}\sum _{i=1}^{n}|a_{ij}||x_{j}|}{\sum _{i=1}^{n}|x_{i}|}}=\max \limits _{1\leq j\leq n}\sum _{i=1}^{n}|a_{ij}|.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0a34a8f42adec33ee70b1553f80379b2f1d03503)
Por outro lado, seja o vetor
, com zero em todas as entradas exceto para a j-ésima entrada onde
ocorre.
Tem-se
![{\displaystyle |Ax|=\sum _{i=1}^{n}{|a_{ij}x_{j}|}=\max \limits _{1\leq j\leq n}\sum _{i=1}^{n}|a_{ij}|.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/495b4e916706590ba45ccfbd266e7958904b4988)
Assim, pelo definição da norma e pelo Teorema do confronto, temos
Cqd
Dado que as matrizes formam um espaço de dimensão finita real ou complexo, todas as normas são equivalentes. Ou seja se
e
são normas em
então existem constantes
e
tais que:
![{\displaystyle C_{1}\|A\|_{1}\leq \|A\|_{2}\leq C_{2}\|A\|_{1},~~\forall A\in M^{n\times m}\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2b928d4e07572f486e56022aa7e098815103a452)
Referências