Em álgebra linear, e em suas aplicações em mecânica quântica, um operador escada ou operador de escada (tais como os operadores elevador[1] ou de criação e abaixador[1] ou de destruição) é um operador que aumenta ou diminui o autovalor de outro operador. Em mecânica quântica, o operador elevador é também é conhecido como operador de criação, enquanto o abaixador é chamado de operador de destruição ou aniquilação. Aplicações dos operadores escada podem ser vistas em mecânica quântica no oscilador harmônico quântico e no momento angular.
Suponhamos que os operadores
e
tenham uma relação de comutação que é proporcional ao operador
![{\displaystyle [{\hat {N}},{\hat {X}}]=c{\hat {X}}\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bddb22e32309b6a771e93edc6bb002b85e540cbc)
sendo
um escalar. Se
é um auto-estado de
, ou seja,
![{\displaystyle {\hat {N}}|n\rangle =n|n\rangle ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dd7f1c4a1de1ab02ad2951fd27af9c953969a0bb)
Em seguida, o operador
atuará em
, acrescentando assim,
ao auto-valor, isto é,
![{\displaystyle {\hat {N}}{\hat {X}}|n\rangle }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a6630f5531905a8e4ece8a4b299df1ac4909b149) |
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Em outras palavras, se
é um auto-estado de
com auto-valor
, então
é um auto-estado de
com auto-valor
. O operador
será um operador elevador para
se
for real e positivo, e um operador abaixador para
se
for real e negativo.
Se
é um operador hermitiano, então
deve ser real, sendo que o operador adjunto de
obedece a seguinte relação:
![{\displaystyle [{\hat {N}},{\hat {X^{\dagger }}}]=-c{\hat {X^{\dagger }}}.\quad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/676f6f490aa345702dea048e734fe01cf31e12bf)
Em particular, se
é um operador abaixador para
, então
é um operador elevador para
, e vice-versa.
Referências
- ↑ a b Barcelos Neto, João (2010). «11». Matemática para físicos com aplicações. vetores, tensores e spinores. 1 1 ed. São Paulo: Livraria da Física. 227 páginas. ISBN 978-85-7861-091-3