Pêndulo quântico
O pêndulo quântico é fundamental para entender as rotações internas impedidas na química, as características quânticas dos átomos de dispersão, bem como numerosos outros fenômenos quânticos.[1] Embora um pêndulo não sujeito à aproximação de pequeno ângulo tenha uma não-linearidade inerente, a equação de Schrödinger para o sistema quantizado pode ser resolvida de forma relativamente fácil.[2][3][4]
Equação de Schrödinger[editar | editar código-fonte]
Usando a teoria lagrangiana da mecânica clássica, pode-se desenvolver um hamiltoniano para o sistema. Um pêndulo simples tem uma coordenada generalizada (o deslocamento angular ) e duas restrições (o comprimento da corda e o plano de movimento). As energias cinéticas e potenciais do sistema podem ser encontradas em
Isso resulta no Hamiltoniano
A equação de Schrödinger dependente do tempo para o sistema é
É preciso resolver a equação de Schrödinger independente do tempo para encontrar os níveis de energia e os auto-estados correspondentes. Isso é efetuado melhor alterando a variável independente da seguinte maneira:
Esta é a equação de Mathieu.[5]
onde as soluções são as funções Mathieu.[6][7][8]
Referências
- ↑ Bransden, B. H.; Joachain, C. J. (2000). Quantum mechanics 2nd ed. Essex: Pearson Education. ISBN 0-582-35691-1
- ↑ Davies, John H. (2006). The Physics of Low-Dimensional Semiconductors: An Introduction 6th reprint ed. [S.l.]: Cambridge University Press. ISBN 0-521-48491-X
- ↑ Griffiths, David J. (2004). Introduction to Quantum Mechanics 2nd ed. [S.l.]: Prentice Hall. ISBN 0-13-111892-7
- ↑ Muhammad Ayub, Atom Optics Quantum Pendulum, 2011, Islamabad, Pakistan.
- ↑ L. Ruby, “Applications of the Mathieu Equation,” Am. J. Phys., vol. 64, pp. 39–44, Jan. 1996
- ↑ Morse, Philip McCord; Feshbach, Herman (1 de janeiro de 1953). Methods of Theoretical Physics: Pt. 1 (em inglês) Reprint ed. Boston, Mass: McGraw-Hill Inc.,US. ISBN 9780070433168
- ↑ Oliva-Leyva, M.; Fernández de Cossío, J.; Trallero-Giner, C. (1 de janeiro de 2014). «Free wave modes in elliptic cylindrical containers». European Journal of Mechanics - B/Fluids. 43 (Supplement C): 185–190. doi:10.1016/j.euromechflu.2013.09.003
- ↑ Wilkinson, Samuel A.; Vogt, Nicolas; Golubev, Dmitry S.; Cole, Jared H. (27 de fevereiro de 2018). «Approximate solutions to Mathieu's equation». Physica E: Low-dimensional Systems and Nanostructures. 100: 24–30. ISSN 1386-9477. doi:10.1016/j.physe.2018.02.019