Paradoxo de Olbers

Ilustração do paradoxo de Olbers em ação.

Em astrofísica, o paradoxo de Olbers (ou paradoxo da noite escura) argumenta que a escuridão do céu está em contradição com a hipótese de um universo infinito e estático. A escuridão do céu é uma das evidências da não estaticidade do universo, como no modelo do Big Bang do universo. Se o universo fosse estático e populado por uma quantidade infinita de estrelas, qualquer linha de visão partindo da terra coincidiria provavelmente com uma estrela suficientemente luminosa, de forma que o céu seria completamente brilhante. Isso contradiz a observação do céu predominantemente escuro.

Por que o céu é escuro à noite??

O paradoxo foi descrito primeiramente pelo astrônomo alemão Heinrich Wilhelm Olbers em 1826 e anteriormente por Johannes Kepler em 1610 e Edmond Halley e Jean Philippe de Chéseaux no século XVIII. Face à simplicidade da pergunta acima, as respostas de Olbers e demais astrónomos vêm sempre acompanhadas com as mais inteligentes e elegantes explicações envolvendo múltiplas áreas das ciências exatas. O paradoxo é a afirmação de que em um universo estático, infinito e com distribuição regular de estrelas em seu espaço, o céu noturno deveria ser brilhante. O paradoxo possui o nome indevido já que num universo estático e infinito a distribuição de estrelas, mesmo sendo em número infinito, não precisa necessariamente ser regular. Aliás, a suposição de que a função de estrelas f(x) pela quantidade de volume de espaço x dividida por esse mesmo volume x tende a uma constante K quando x vai ao infinito é uma suposição muito forte. Embora o Paradoxo de Olbers realmente constate que, se a distribuição de estrelas no céu fosse regular num universo infinito, a quantidade de energia estelar que atingiria a Terra seria infinita, não gera empecilhos para que haja um universo estático infinito com um número infinito de estrelas distribuídas de forma irregular (vide prova matemática abaixo). A presunção de que um universo infinito tenha obrigatoriamente um número infinito de estrelas também não pode ser provada - pois pode-se imaginar um universo infinito com o conjunto de matéria finita, mas dividida em infinitos corpos distintos - e abre-se em múltiplos exemplos e contradições.

O paradoxo pode ser enunciado de diferentes maneiras, modelado de acordo com complexidade das ideias e da linguagem utilizada, por exemplo:

“ Paradoxo 1. Em um Universo eterno e sem fim, devem existir infinitas estrelas e assim, para onde o seu olhar apontasse, encontraria uma estrela. Isto é, não haveria local no céu sem a luminosidade de uma estrela. Então, por que o céu é predominantemente escuro à noite? ”

Universo eterno e sem fim implica idade e tamanho infinitos, nem sempre consensuais entre cientistas, filósofos e religiosos . E as estrelas também seriam eternas.

Há versões mais sintéticas e outras mais elaboradas do que o Paradoxo 1 que não menciona, por exemplo, a distribuição das estrelas. No entanto, vários pensadores incluíram a hipótese de distribuições homogêneas ou aleatórias das estrelas no Universo. E algumas palavras devem ser mais elaboradas, conceitualmente. O PO faz três menções ao infinito. Enfatiza-se que infinito não é um número e sim um conceito que a nossa abstração constrói. No PO temos dois tipos de infinitos envolvidos. O infinito enumerável que dá a cardinalidade do conjunto dos números naturais e o infinito não enumerável que caracteriza os números reais. O infinito enumerável está associado à contagem das estrelas, enquanto o não enumerável aparece nas ideias de eternidade e de tamanho infinitos do Universo.

Tirando-se a claridade diurna devida a difusão da luz solar pela atmosfera da discussão. Não fosse a atmosfera veríamos, mesmo de dia, céu predominante escuro exceto na direção e sentido explícitos do Sol ou das estrelas. Com essa explicação a pergunta do PO é ainda mais simples:

“ Paradoxo 2. Se o Universo é eterno, infinito e tem uma quantidade infinita de estrelas eternas, por que vemos regiões do céu majoritariamente sem luz, escuras? ”

Muito do que vemos ao olho nu à noite são galáxias e não estrelas isoladas. Isto não muda nem a essência do PO nem o desenvolvimento das soluções, pois nos interessa primordialmente a luminosidade que nos chega, a luminosidade aparente. Não importa tampouco entrar em detalhes que diferenciam a luz visível de outras formas de energia eletromagnética, como raios-x e infravermelho. Para Olbers, alguma coisa absorveria a luz das estrelas muito distantes. Sabemos agora que, mais cedo ou mais tarde esta coisa iria emitir alguma luz também, pois não poderia acumular a energia luminosa indefinidamente.

Uma reformulação do PO foi apresentada de forma mais geométrica:

“ Paradoxo 3. No céu noturno povoado de estrelas de mesmo de brilho, por simplicidade, a contribuição de brilho médio pelas estrelas a uma distância $r$ qualquer apareceria ser a mesma, uma vez que a quantidade de estrelas, que cresce como a área, $r_{2}$, iria compensar a queda no brilho aparente que diminui com o inverso da distância ao quadrado ${\frac {1}{r^{2}}}$. ”

Lord Kelvin propôs em 1901 uma solução com base nos conhecimentos de Astronomia da época: O tempo de vida das estrelas é muito curto para o céu parecer tão brilhante quanto o paradoxo de Olbers sugeriria.

Prova matemática de que não pode haver um universo estático e infinito com número infinito de estrelas distribuídas regularmente

Imagine uma esfera com diversas cascas sendo essas divididas umas das outras por esferas de raio R, 2R, 3R e assim por diante. Coloque a Terra no centro dessa esfera, pegue o número de estrelas na primeira casca de raio R. Uma segunda casca teria (8R³-R³)/R³ a mais de estrelas, ou seja, teria 7 vezes mais estrelas do que a primeira, já que há distribuição uniforme de estrelas no espaço. Mas a radiação dessas estrelas cai pelo quadrado, sendo que ao dobro da distancia há 7 vezes mais estrelas que irradiam 4 vezes menos a Terra. Sendo que o total de radiação seria 7/4, ou seja, seria maior que da primeira casca. A cada casca, pelo mesmo motivo, a soma da radiação total seria maior do que a casca anterior, sendo infinito o número de cascas, a quantidade de radiação que chegaria na Terra seria infinita.

Prova matemática de que pode haver um universo estático e infinito com numero infinito de estrelas

Imagine que R seja a quantidade de radiação emitida pela estrela mais próxima, seja R/2 a quantidade de radiação emitida pela segunda estrela mais próxima, R/4, a emitida pela terceira e assim por diante infinitamente. Pode-se provar matemática e geometricamente que a série de soma infinita R + R/2 + R/4 + R/8... é menor que 2R, ou seja, a quantidade de radiação que atingiria a Terra também seria limitada, mesmo sendo irradiada por um número infinito de estrelas.

Visibilidade das estrelas no céu noturno

Em qualquer caso, em um universo com infinitas estrelas, você veria uma distribuição homogênea delas pelo espaço. Isso não implica distribuição homogênea real, e sim apenas a disposição ótica delas.

Considere uma área A do céu que você vê, você tem como partida um volume x, cuja base é A, no qual pode estar uma estrela; como você procura no infinito, esse volume pode ser tão grande quanto for necessário para achá-la, de forma que mantenha a mesma forma e proporções do volume inicial. Resumindo, o volume no qual procura uma estrela pode tender ao infinito.

Seja g(x)/x a função da densidade estelar nesses volumes, onde x é o volume espacial e g(x), o volume estelar. Sabemos que quanto maior o volume espacial, menor será a sua densidade estelar. Se o volume que você olha é x, então g(x)/x vezes x = g(x) é a quantidade de estrelas que estará nele, e precisamos de apenas uma. Uma vez que g(x) tende ao infinito com x tendendo ao infinito, já que o universo tem infinitas estrelas, para qualquer área A do espaço em que você mirar a visão, ver-se-á obrigatoriamente uma estrela. Entenda como "ver" a captação de radiação dessa estrela, mesmo que seja tão fraca a ponto de você não percebê-la.

A visibilidade "homogênea" independe do comportamento da função g(x)/x, de forma que só importa g(x), que tende ao infinito quando x vai ao infinito, já que parte da premissa de que o universo é infinito e tem um número infinito de estrelas.

Apesar da precisão das respostas, quando a duvida é transferida para um habitante de um longínquo planeta, localizado no meio de um aglomerado globular, "Por que suas noites são claras? o questionamento toma outros sentidos.

Essa simples inversão, além de já nos trazer as mais sensatas e compreensíveis respostas, transforma o paradoxo anterior num fenômeno, associado à natureza humana, também rico em outras explicações mas de interesse de outras ciências e que não sejam tão exatas como as exatas, porem mais elucidativas, afinal num questionamento que envolve a utilização do conceito de limite e convergência o paradoxo surge ao introduzirem nos cálculos um um espaço de duas dimensões no lugar de três.

Notas

• Este verbete incorpora texto em licença CC-BY-4.0 da obra: De Oliveira; Samuel Rocha (2020), «Por que o céu é escuro à noite? Considerações geométricas com um olhar histórico e pedagógico do paradoxo de Olbers», Revista Brasileira de Ensino de Física, ISSN 1806-1117, 42, doi:10.1590/1806-9126-RBEF-2020-0381, Wikidata Q105715905 .