Polinômio aditivo
Em Matemática, polinômio aditivo é um tópico importante dentro da Teoria Algébrica dos Números.
Definição
[editar | editar código-fonte]Seja k um corpo[1] de característica p, com p sendo um número primo. Um polinômio P(x) com coeficientes em k é chamado de polinômio aditivo, ou um polinômio com endomorfismo de Frobenius, ou ainda um polinômio de Frobenius, se
como polinômio em a e b. É equivalente assumir que esta igualdade é válida para todos os a e b em alguns corpos infinitos contendo k, tal como seu fecho algébrico.
Ocasionalmente o termo absolutamente aditivo é usado para a condição acima, e o termo aditivo é usado para condição mais fraca que P(a + b) = P(a) + P(b) para todo a e b no corpo. Para corpos infinitos, as condições são equivalentes, mas para corpos finitos não são, e a condição mais fraca é a "errada" e não é bem comportado. Por exemplo, sobre um corpo de ordem q qualquer múltiplo P de xq − x terá satisfeito P(a + b) = P(a) + P(b) para quaisquer a e b no corpo, mas geralmente não será (absolutamente) aditivo.
Exemplos
[editar | editar código-fonte]O polinômio xp é aditivo. Na verdade, para qualquer a e b no fecho algébrico de k pelo teorema binomial tem-se
Desde que p é primo, para todos n = 1, ..., p−1 o coeficiente binomial é divisível por p,o que implica que
como polinômio em a e b.
Similarmente todos os polinômios da forma
são aditivos, onde n é um inteiro não-negativo.
Anel dos polinômios aditivos
[editar | editar código-fonte]É bastante fácil para provar que qualquer combinação linear de polinômios com coeficientes em k é também um polinômio aditivo. Uma questão interessante é saber se existem outros polinômios aditivos exceto estas combinações lineares. A resposta é que estes são os únicos.
Pode-se verificar que, se P(x) e M(x) são polinômios aditivos, assim são P(x) + M(x) e P(M(x)). Isso implica que os polinômios aditivos formam um anel sobre adição e composição de polinômios. A notação deste anel é
Este anel é não-comutativo a não ser que k seja igual ao corpo (ver aritmética modular). De fato, considere o polinômio aditivo ax e xp para um coeficiente a em k. Para eles, comutar sob composição, deve-se ter
ou ap − a = 0. Isto é falso para a não sendo raiz da equação, isto é, para a fora de O polinômio teria mais de p raízes.
Teorema fundamental
[editar | editar código-fonte]Seja P(x) um polinômio com coeficientes em k, e o conjunto de suas raízes. Assumindo que as raízes de P(x) são distintas (isto é, P(x) é um polinômio separável), então P(x) é aditivo se e somente se o conjunto forma um grupo com um corpo aditivo.
Ver também
[editar | editar código-fonte]Referências
[editar | editar código-fonte]- ↑ David Goss, Basic Structures of Function Field Arithmetic, 1996, Springer, Berlin. ISBN 3-540-61087-1.
Ligações externas
[editar | editar código-fonte]- Weisstein, Eric W. «Additive polynomial». MathWorld (em inglês)