Os polinômios de Laguerre são uma família de polinômios ortogonais em homenagem a Edmond Laguerre, e aparecem na análise de soluções para a equação diferencial
![{\displaystyle x\,y''+(1-x)\,y'+n\,y=0\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/adbe33c805a58129e3f1fde424c2e5edd208f743)
Desenvolvendo
em série de potências, obtemos uma relação de recorrência entre coeficientes consecutivos,
![{\displaystyle a_{k+1}={\frac {k-n}{(k+1)^{2}}}a_{k},\ \ k=0,1,2,...;\ \ \ y(x)=\sum _{k=0}^{\infty }a_{k}x^{k}\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ea001065279a3098d1010b16391216c6ceac1417)
Pode-se ver que quando n é natural o coeficiente da potência de grau maior e diferente de n se anula. Ou seja, uma solução linearmente independente é um polinômio de grau n (polinômio de Laguerre de ordem n, denotados por Ln(x)). Para encontrar a segunda solução linearmente independente, deve-se estudar as soluções da equação mais geral, que é
.
Um polinômio de Laguerre de ordem n é definido por
![{\displaystyle L_{n}(x)=(1/(n!))e^{x}{\frac {d^{n}}{dx^{n}}}(x^{n}e^{-x})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6d814f2fcea029f4660ed3cb08ada8aa5e65f9cc)
Que, após o desenvolvimento, assume a forma:
![{\displaystyle L_{n}(x)=\sum _{k=0}^{n}(-1)^{k}{n \choose k}{\frac {1}{k!}}x^{k}=\sum _{k=0}^{n}(-1)^{k}{\frac {n!}{(n-k)!k!k!}}x^{k}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/72f3bdb912f09dfc7ea7d21f836d4f26b9209c0c)
Eis alguns desses polinômios:
[1]
n |
![{\displaystyle L_{n}(x)\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/af3340a6752ea0fd0739671ee0bb11b91fc0f7d5) |
0 |
![{\displaystyle 1\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bfd1e7984fe6e1b79a26404a8138a6c6ee41a476) |
1 |
![{\displaystyle -x+1\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4facacda63303f8b9defa1c84d9b3504c64f3dfb) |
2 |
![{\displaystyle (1/2)(x^{2}-4x+2)\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7fdafd6cfe1673eb0410b2e1195a2633142f74ab) |
3 |
![{\displaystyle (1/6)(-x^{3}+9x^{2}-18x+6)\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ae338e4f98fc1c66adfb0c84178945caa90bb759) |
4 |
|
5 |
|
6 |
|
Os polinômios de Laguerre também podem ser definidos através da integral
![{\displaystyle L_{n}(x)={\frac {1}{2\pi i}}\oint {\frac {e^{-xt/(1-t)}}{(1-t)\,t^{n+1}}}\;dt}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ceb96937342131d34233da980c351d809b8c636b)
Onde a integração é feita no sentido anti-horário sobre qualquer caminho fechado em torno da origem do plano complexo contido no disco
| t | < 1.
A função geradora dos polinômios de Laguerre é dada por:
![{\displaystyle \psi (x,t)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {L_{n}(x)}{n!}}t^{n}=\sum _{n=0}^{\infty }\sum _{k=0}^{n}{\frac {(-1)^{k}}{k!}}{n \choose k}x^{k}t^{n}\ \ \ |t|<1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b18f387b1788d461f44897968f25e8f266adee3d)
Trocando-se a ordem dos somatórios, fazendo a mudança m = n - k e reordenando os termos, temos que:
![{\displaystyle \psi (x,t)=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}}{k!}}x^{k}t^{k}\sum _{m=0}^{\infty }{m+k \choose k}t^{m}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9c2d7abc45a9f1769c18ec4d570dcc1a00142f74)
Sabendo-se que
e rearrumando os termos, temos a forma:
![{\displaystyle \psi (x,t)={\frac {1}{1-t}}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{k!}}\left({\frac {-xt}{1-t}}\right)^{k}={\frac {1}{1-t}}\exp {\left({\frac {-xt}{1-t}}\right)}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a77978e66f15bef2ceb1aa81b37bfe1ff7497408)
A partir da função geradora, desprezando-se a potência e derivando em relação a t, pode-se chegar a uma relação de recorrência da seguinte forma:
![{\displaystyle L_{n+1}(x)=(2n+1-x)L_{n}(x)-n^{2}L_{n-1}(x)\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9850c547a017a7e47eee29c5c36f25c6c5520808)
Conhecidos os dois primeiros polinômios (ver tabela), pode-se usar esta fórmula para a obtenção do polinômio de grau n.
Os polinômios de Laguerre são ortogonais mediante o produto escalar:
![{\displaystyle \left\langle L_{n}|L_{m}\right\rangle =\int _{0}^{\infty }L_{n}(x)L_{m}(x)e^{-x}dx=(n!)^{2}\delta _{nm}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fd77c2f582ee1a7f95dde78aa26269899a8258b3)
No entanto, podemos definir as funções:
![{\displaystyle \varphi _{n}(x)={\frac {1}{n!}}L_{n}(x)e^{-x/2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2da93639c04e3a92bd291fe530373129f36682a6)
Que são claramente ortonormais em relação ao produto escalar ordinário:
![{\displaystyle \left\langle \varphi _{n}|\varphi _{m}\right\rangle =\int _{0}^{\infty }\varphi _{n}(x)\varphi _{m}(x)dx=\delta _{nm}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a11ec61ad07db24ffed81c1a4b29e19e401e19b3)
Ignorando da definição os polinômios de Laguerre e substituindo na equação da Laguerre, obtemos a equação diferencial cujas soluções são as funções acima:
![{\displaystyle x\varphi _{n}''(x)+\varphi _{n}'(x)+\left(n+{\frac {1}{2}}-{\frac {x}{2}}\right)\varphi _{n}(x)=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d256266b1c367f22f0e8742ba3c4af93fc9cec37)
Também chamados de polinômios de Laguerre generalizados, os polinômios associados são os que satisfazem a seguinte equação diferencial:
![{\displaystyle xy''(x)+(m+1-x)y'(x)+(n-m)y(x)=0\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d31fd838a5ed938f4514e82d765e669b0919eab4)
São definidos a partir das derivadas dos polinômios de Laguerre:
![{\displaystyle L_{n}^{m}(x)={\frac {1}{n!}}{\frac {d^{m}}{dx^{m}}}L_{n}(x)={\frac {1}{n!}}{\frac {d^{m}}{dx^{m}}}\left(e^{x}{\frac {d^{n}}{dx^{n}}}(x^{n}e^{-x})\right)\ \ \ m\leq n}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/63da9455f203f3c1a223d7d14ae2c43f01775c18)
Embora seja vantajosa a seguinte definição:
![{\displaystyle L_{n}^{m}(x)=e^{x}{\frac {x^{-m}}{n!}}{\frac {d^{n}}{dx^{n}}}(e^{-x}x^{n+m})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3ad68d778d1f65ad343b522e37a753033c16203a)
Pode-se ver que, para m > n o polinômio associado correspondente é nulo. Também é óbvio que
.
Derivando-se a partir da definição, obtém-se:
![{\displaystyle L_{n}^{m}(x)=\sum _{k=0}^{n-m}(-1)^{k}{n \choose k+m}{\frac {1}{k!}}x^{k}=\sum _{k=0}^{n-m}(-1)^{k}{\frac {n!}{(n-m-k)!(k+m)!k!}}x^{k}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a2e24a635548c51765add8a8e03bae4e827a9fcd)
A função geradora é dada por:
![{\displaystyle \psi _{m}(x,t)=(1-t)^{m+1}\sum _{n=m}^{\infty }L_{n}^{m}(x)t^{n}={\frac {1}{(1-t)^{m+1}}}\exp {\left({\frac {-xt}{1-t}}\right)}\ \ \ |t|<1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/99920d5b89725d55e5bd494c94b7109c88423d99)
De onde se deduz as relações de recorrência. Algumas delas são:
![{\displaystyle L_{n}^{m}(x)=L_{n}^{m+1}(x)-L_{n-1}^{m+1}(x)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e24e9ff6334daa28a3f3d1d071d03d2fd5aed8a7)
![{\displaystyle {\frac {d}{dx}}L_{n}^{m}(x)=-L_{n-1}^{m+1}(x)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/507cd05e249e667df3e9f20a7d09876c21a739a9)
![{\displaystyle nL_{n}^{m}(x)=(n+m)L_{n-1}^{m}(x)-xL_{n-1}^{m+1}(x)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dd01447d996afeb2af77052553b759dfe7ef3a20)
![{\displaystyle (n+1)L_{n+1}^{m}(x)=(2n+m+1-x)L_{n}^{m}(x)-(n+m)L_{n-1}^{m}(x)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8c670368eac6f821defa295a67183d4df9349e06)
![{\displaystyle x{\frac {d}{dx}}L_{n}^{m}(x)=nL_{n}^{m}(x)-(n+m)L_{n-1}^{m}(x)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/988e921a7b8816ba994a42ddf7073f33adb555f6)
Os polinômios asociados de Laguerre são ortogonais em relação à função peso
. O seguinte se aplica:
![{\displaystyle \left\langle L_{n}^{m}|L_{n'}^{m}\right\rangle =\int _{0}^{\infty }e^{-x}x^{m}L_{n}^{m}(x)L_{n'}^{m}(x)dx={\frac {\Gamma (n+m+1)}{n!}}\delta _{nn'}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/253b9bd99f3e6cdb8887d08bda4afd21a5616e89)
Outra relação importante é a seguinte:
![{\displaystyle \left\langle L_{n}^{m}|L_{n'}^{m}\right\rangle =\int _{0}^{\infty }e^{-x}x^{m+1}L_{n}^{m}(x)L_{n'}^{m}(x)dx={\frac {\Gamma (n+m+1)}{n!}}(2n+m+1)\delta _{nn'}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7ac91c8c19fb8b866c3340d91a667cb4ac1916bf)
Onde
é a função Gama.
Tal como os polinômios Laguerre, as seguintes funções são ortonormais em relação à função peso 1:
São importantes na mecânica quântica outras funções que são ortonormais em relação à função peso
(devido à forma que toma a integral de volume em coordenadas esféricas) que tem como solução a parte radial da equação de Schrödinger para o átomo de hidrogênio. Essas funções são:
![{\displaystyle R_{nl}(\rho )=Ne^{-\rho /2}\rho ^{l}L_{n+l}^{2l+1}(\rho )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ffc7aad7f82302adfdc183c22e5c6ff85337d87d)
Em geral, as funções da forma:
São ortogonais em relação à função
e são soluções da equação:
Os polinômios de Laguerre estão relacionados com os polinômios de Hermite através de:
![{\displaystyle L_{n}^{-1/2}(x)={\frac {(-1)^{n}}{2^{2n}n!}}H_{2n}({\sqrt {x}})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d229c6665d4ab18878d0cc80890296543370c05e)
![{\displaystyle L_{n}^{1/2}(x)={\frac {(-1)^{n}}{2^{2n+1}n!}}{\frac {H_{2n+1}({\sqrt {x}})}{\sqrt {x}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6b1faf776755dc81f5e461c3b028b2f033fa0d6f)
Apuntes sobre polinomios de Laguerre de la Universidad de Chile