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Ponto recorrente

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Na teoria dos sistemas dinâmicos, diz-se que um ponto é recorrente quando ele pertence ao seu conjunto ômega-limite. O estudo de um certo sistema dinâmico quase sempre reduz-se à descrição do comportamento das órbitas dos seus pontos recorrentes.

Definição[editar | editar código-fonte]

Sejam um espaço topológico e um homeomorfismo. Dizemos que é um ponto recorrente caso

Além disto, definimos o conjunto ômega-limite de por .

Para fluxos, mutatis mutandis, temos a seguinte definição:

Sejam uma variedade suave e um fluxo contínuo definido sobre . Dizemos que é um ponto recorrente caso .

Definimos o conjunto ômega-limite de por .

Propriedades[editar | editar código-fonte]

  • é um conjunto invariante pela ação do difeomorfismo (ou do fluxo) que define a dinâmica.
  • Se o espaço topológico onde está definida a dinâmica for compacto, pode-se mostrar que é um conjunto não-vazio.
  • Para difeomorfismos do tipo Axioma A definidos sobre uma variedade fechada, possui no máximo um número finito de componentes conexas.
  • Todo ponto recorrente é não-errante. A recíproca não é verdadeira.