Problema de "einstein"
Na geometria plana, o problema de "einstein" (do alemão ein Stein, "um ladrilho") inquire sobre a existência de um único protomosaico (prototile) ou ladrilho que por si só forme um conjunto aperiódico de protomosaicos, ou seja, uma forma que pode preencher com tesselas o espaço, mas apenas de forma não periódica. Dependendo das definições particulares de não periodicidade e das especificações de quais conjuntos podem ser qualificados como ladrilhos e quais tipos de regras de correspondência são permitidos, o problema está aberto ou resolvido. O problema de einstein pode ser visto como uma extensão natural da segunda parte do décimo oitavo problema de Hilbert, que pede um único poliedro que preencha o espaço tridimensional euclidiano, mas de modo que nenhum mosaico desse poliedro seja isoédrico.[1] Ladrilhos anisoédricos foram encontrados por Karl Reinhardt em 1928, mas eles preenchem o espaço de forma periódica.
Em 2023, uma possível solução para o problema foi anunciada, mas o estudo ainda não foi revisado por pares ou publicado formalmente.[2]
Soluções propostas
[editar | editar código-fonte]Em 1988, Peter Schmitt descobriu um único protótipo aperiódico no espaço euclidiano tridimensional. Embora nenhum ladrilho deste protótipo admita uma translação como uma simetria, alguns têm uma simetria de parafuso. A operação do parafuso envolve uma combinação de uma translação e uma rotação através de um múltiplo irracional de π, de modo que nenhum número de operações repetidas produz uma translação pura. Esta construção foi posteriormente expandida por John Horton Conway e Ludwig Danzer a um protótipo aperiódico convexo, o ladrilho Schmitt-Conway-Danzer. A presença da simetria do parafuso resultou em uma reavaliação dos requisitos de não periodicidade.[3] Chaim Goodman-Strauss sugeriu que um ladrilho seja considerado fortemente aperiódico se não admitir nenhum grupo cíclico infinito de movimentos euclidianos como simetrias, e que apenas conjuntos de ladrilhos que impõem forte aperiodicidade sejam chamados de fortemente aperiódicos, enquanto outros conjuntos devem ser chamados fracamente aperiódicos.[4]
Em 1996, Petra Gummelt construiu um azulejo decagonal decorado e mostrou que quando são permitidos dois tipos de sobreposições entre pares de ladrilhos, os ladrilhos podem cobrir o plano, mas apenas de forma não periódica.[5] Um ladrilho é geralmente entendido como uma cobertura sem sobreposições e, portanto, o ladrilho Gummelt não é considerado um prototile aperiódico. Um ladrilho aperiódico definido no plano euclidiano que consiste em apenas um ladrilho - o ladrilho Socolar-Taylor - foi proposto no início de 2010 por Joshua Socolar e Joan Taylor.[6] Essa construção requer regras de correspondência, regras que restringem a orientação relativa de dois ladrilhos e que fazem referência a decorações desenhadas nos ladrilhos, e essas regras se aplicam a pares de ladrilhos não adjacentes. Como alternativa, um ladrilho não decorado sem regras correspondentes pode ser construído, mas o ladrilho não está conectado. A construção pode ser estendida para um ladrilho tridimensional conectado sem regras de correspondência, mas este ladrilho permite ladrilhos que são periódicos em uma direção e, portanto, é apenas fracamente aperiódico. Além disso, o ladrilho não é simplesmente conectado.
A existência de um conjunto de ladrilhos fortemente aperiódicos para o plano euclidiano consistindo de um ladrilho conectado sem regras de correspondência é um problema não resolvido.
Em 2023, David Smith, Joseph Samuel Myers, Craig S. Kaplan e Chaim Goodman-Strauss disponibilizaram uma preprint provando a existência de uma família de soluções, com base em um "chapéu" formado por oito cópias de um deltoide de 60°–90°–120°–90°, colado de ponta a ponta.[2] Sua prova aguarda revisão por pares e publicação formal.
Referências
- ↑ Senechal, Marjorie (1996) [1995]. Quasicrystals and Geometry. corrected paperback. [S.l.]: Cambridge University Press. pp. 22–24. ISBN 0-521-57541-9
- ↑ a b Smith, David; Myers, Joseph Samuel (março de 2023). «An aperiodic monotile». arXiv:2303.10798
- ↑ Radin, Charles (1995). «Aperiodic tilings in higher dimensions». American Mathematical Society. Proceedings of the American Mathematical Society. 123 (11): 3543–3548. JSTOR 2161105. MR 1277129. doi:10.2307/2161105
- ↑ Goodman-Strauss, Chaim (10 de janeiro de 2000). «Open Questions in Tiling» (PDF). Consultado em 24 de março de 2007. Arquivado do original (PDF) em 18 de abril de 2007
- ↑ Gummelt, Petra (1996). «Penrose Tilings as Coverings of Congruent Decagons». Geometriae Dedicata. 62 (1): 1–17. doi:10.1007/BF00239998
- ↑ Socolar, Joshua E. S.; Taylor, Joan M. (2011). «An Aperiodic Hexagonal Tile». Journal of Combinatorial Theory, Series A. 118 (8): 2207–2231. arXiv:1003.4279. doi:10.1016/j.jcta.2011.05.001