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Regra do paralelogramo

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Um paralelogramo. Os lados estão desenhados em azul e as diagonais em vermelho.

Na matemática, a regra do paralelogramo (ou identidade do paralelogramo) é uma propriedade de geometria que relaciona a soma do quadrado dos lados de um paralelogramo com a soma do quadrado de suas diagonais. Essa propriedade pode ser generalizada para qualquer espaço vetorial munido de um produto interno e, em particular, para um espaço euclidiano.

Usando a notação do diagrama à direita, os lados são denotados (AB), (BC), (CD), (DA). Em geometria Euclidiana, um paralelogramo tem os lados opostos iguais, de forma que (AB) = (CD) e (BC) = (DA). Assim, a lei pode ser expressa como:

No caso em que o paralelogramo é um retângulo, as duas diagonais têm comprimentos iguais (AC) = (BD). Nesse caso, a identidade se reduz ao teorema de Pitágoras:

valor máximo da soma vetorial (v1+v2) = valor mínimo da soma vetorial (v1+v2) - para qualquer ângulo

Então, assim, todo losango é paralelogramo.[1]

Identidade do paralelogramo em espaços com produto interno

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Em um espaço vetorial munido de um produto interno, uma norma pode ser definida a partir do produto interno:

Como consequência dessa definição, em um espaço vetorial munido de um produto interno, a identidade do paralelogramo é resultado de manipulações algébricas do produto interno.

Suponhamos que esse seja um espaço vetorial real.

Sejam x e y elementos desse espaço vetorial, então:

Adicionando essas expressões, estabelecemos a identidade do paralelogramo[2]

Se x e y são ortogonais nesse espaço, então e a equação acima se reduz à

que corresponde ao teorema de Pitágoras.

Espaços vetoriais normados satisfazendo a identidade do paralelogramo

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Um fato notável é que pode se definir um produto interno para um espaço vetorial normado sobre R que satisfaz à identidade do paralelogramo. A demonstração desse fato é uma consequência direta das identidades de polarização. Para espaços de Banach complexos, demonstra-se o mesmo resultado a partir do Teorema de Von Neumann - Jordan[3].

Referências

  1. O que é um losango?
  2. Lima, Elon Lages (1981). Curso de análise, Volume 2. Instituto de Matemática Pura e Aplicada. Rio de Janeiro: Instituto de Matemática Pura e Aplicada 
  3. «The Jordan-Von Neumann Theorem» (PDF). Consultado em 6 de maio de 2012 
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