Relações de recorrência lineares com coeficientes constantes
Uma relação de recorrência linear com coeficientes constantes é uma relação de recorrência da forma:
em que o objetivo é expressar o termo geral an como uma função de n.
A relação é linear porque os termos da sequência aparecem de forma linear, ou seja, cada termo é uma combinação linear dos termos anteriores.
A ordem da relação é d.
A relação é homogênea quando c(n) = 0.
Esboço da solução
[editar | editar código-fonte]Cada solução é determinada unicamente pelos valores iniciais, . É fácil ver que as soluções da relação de recorrência linear homogênea com coefientes constantes
formam um espaço vetorial de dimensão d.
Portanto, se SH representar as soluções da relação homogênea, e SP for uma solução particular do caso geral, então S = SH + SP será uma solução geral.
Solução da relação homogênea
[editar | editar código-fonte]É fácil ver que an = λn será uma solução da relação de recorrência
sempre que λ for uma raiz do polinômio
Este polinômio é chamado de polinômio característico. Se uma raiz λ deste polinômio tem multiplicidade r maior que 1, então também são soluções, além de λn, as sequências .
Ou seja, as raízes do polinômio caracteristico resolvem completamente o problema, ao fornecer uma base para a solução homogênea.