Relações entre a série e a transformada de Fourier
No campo matemático da análise harmônica, a transformada de Fourier tem relações muito próximas com a série de Fourier. Também está estreitamente relacionada com a transformada de Fourier de tempo discreto (DTFT) e a transformada discreta de Fourier (DFT).
A transformada de Fourier pode ser aplicada tanto para tempo discreto como para sinais periódicos no tempo usando o formalismo do delta de Dirac. Na verdade, a série de Fourier, a DTFT e a DFT podem ser derivadas em da transformada contínua de Fourier geral. Elas são, do ponto de vista teórico, os casos particulares da transformada de Fourier.
Na teoria de sinais e no processamento digital de sinais (PDS), a DFT (implementada como transformada rápida de Fourier) é amplamente utilizada para calcular as aproximações do espectro de um sinal contínuo, conhecendo-se apenas a sequência dos pontos amostrados. As relações entre a DFT e a transformada de Fourier são essenciais neste caso.
Definições
[editar | editar código-fonte]Na tabela a seguir são demonstradas as definições para a transformada contínua de Fourier, série de Fourier, DFT e DTFT:
× | Tempo Contínuo | Tempo Discreto |
---|---|---|
Aperiódico | ||
- | ||
Periódico | ||
- |
A tabela mostra as propriedades do sinal no domínio do tempo:
- Tempo contínuo” X “Tempo discreto” (colunas),
- Aperiódico” X “Periódico” (linhas).
Equações necessárias para relacionar as várias transformadas
[editar | editar código-fonte]As definições apresentadas na seção anterior podem ser introduzidas axiomaticamente ou podem ser derivadas da transformada contínua de Fourier usando o formalismo estendido do delta de Dirac. O uso desse formalismo da transformada contínua de Fourier pode ser aplicado também aos sinais discretos ou periódicos.
Para calcular a transformada contínua de Fourier de sinais discretos e/ou periódicos precisamos inserir algumas equações e recordar algumas propriedades da transformada de Fourier. Abaixo é apresentada uma lista delas:
1. A primeira fórmula de somatório de Poisson:
2. A segunda fórmula de somatório de Poisson:
3.A transformada do trem de impulsos (deltas de Dirac) é importante para compreender a relação entre o contínuo e o caso discreto ou periódico:
4. Os teoremas que definem as propriedades da transformada de Fourier, em particular a propriedade da convolução.
Todas estas equações e propriedades podem ser demonstradas individualmente.
Uma vez calculada, a transformada contínua de Fourier dos sinais discretos e/ou periódicos pode ser relacionada com a DTFT, a série de Fourier e com a DFT das definições dadas acima.
Relações entre as várias transformadas
[editar | editar código-fonte]A figura a seguir representa as relações entre as várias transformadas.
Explicação dos símbolos:
- O sinal e sua transformada são ligados por seta dupla ()
- e são sequências infinitas
- e são sequências periódicas
- , e são sequências finitas
- indica exclusivamente a transformada de Fourier.
As fórmulas de somatório de Poisson permitem ligar a série de Fourier e a DTFT com a transformada de Fourier (fórmulas “1” e “2” respectivamente).
A propriedade de convolução (4.) e a transformada do trem de impulsos (3.) permitem calcular a transformada de Fourier para sinais como função de tempo periódico ou tempo discretos de X(f)\,</math>. Na Figura 2 é mostrado que as operações correspondem, no domínio espectral, à amostragem de um sinal contínuo ou à periodização de um sinal aperiódico.
Da Figura 2 podemos ver que a amostragem no domínio do tempo tem o mesmo efeito sobre o espectro, tanto para um sinal aperiódico () como para um sinal periódico () . Reciprocamente, a periodização no domínio do tempo tem o mesmo efeito espectral em um sinal contínuo () e em um sinal discreto ().
FFT e a Transformada Contínua de Fourier
[editar | editar código-fonte]A transformada discreta de Fourier (DFT) é a transformada de uma sequência finita. Uma sequência finita pode ser imaginada como um sinal de periódico no tempo e tempo-discreto apenas em um período. Por este motivo o espectro precisa ser tanto periódico quanto discreto.
Seguindo as fórmulas de Poisson obteríamos como a definição da DFT. No entanto, a DFT é geralmente definida como (ver Figura 2 ou as definições anteriores). Por esta razão, a ligação entre a DFT e a transformada periódica é diferente por um fator de escala a partir da relação obtida pela aplicação das fórmulas de Poisson (que nos leva para e não para ).
A amostra de pontos no espectro de um sinal contínuo pode ser calculada com precisão se o sinal for limitado em banda e a amostragem é feita com uma frequência acima da frequência de Nyquist. Neste caso, se o sinal é limitado em tempo podemos começar a amostragem antes que o sinal inicie e parar a amostragem depois que o sinal termine. Calculando a DFT desta sequência finita obtida a partir de tais amostras obtemos os valores amostrados do espectro do sinal original, além de um fator de escala (onde T é o intervalo de amostragem):
A última igualdade está entre o espectro periódico avaliado em um período e do espectro do sinal contínuo . O símbolo é também usado para salientar isso, se o sinal não é perfeitamente limitado em banda, temos sempre um pouco de aliasing que faz a igualdade não ser exata.
Normalmente em processamento digital de sinais (PDS) o sinal é demasiadamente longo para ser analisado por inteiro. Neste caso, o janelamento é usado para calcular amostras do espectro aproximadas por uma pequena parte de todo o sinal. Este processo adiciona inevitavelmente novos erros como fuga e scalloping losses.
DTFT e a Transformada Contínua de Fourier
[editar | editar código-fonte]A transformada de Fourier de tempo discreto é a transformada de uma sequência discreta. Como o domínio é o do tempo discreto, o espectro é periódico. Um sinal discreto pode ser considerado como a amostragem de um sinal contínuo em intervalos step . O sinal amostrado pode ser analisado como um sinal contínuo usando o formalismo do delta de Dirac. Em particular a operação de amostragem é equivalente a multiplicação de um trem de impulsos de Dirac:
Calculando a Transformada de Fourier do sinal amostrado usando a propriedade da convolução ('3.) e a transformada de um trem de impulsos (2.), e aplicando a segunda soma de Poisson, obtemos:
Onde é a transformada do sinal contínuo . Nota-se que a transformada de Fourier é igual à DTFT de . A definição da DTFT pode ser considerada como uma forma de se calcular a transformada de Fourier do sinal amostrado usando somente os valores das amostras (sem o formalismo do delta de Dirac). A última equação está no canto inferior esquerdo da Figura 2.
Outro aspecto importante é que a amostragem no domínio do tempo com passo corresponde à “periodização” do espectro com período e à multiplicação do espectro por um fator . Esta relação pode ser vista na Figura 2 pela seta vertical que vai de para e de para .
Série de Fourier e a Transformada Contínua de Fourier
[editar | editar código-fonte]A série de Fourier é a expansão de um sinal periódico em uma combinação linear de componentes harmônicas discretas. Como o sinal é periódico o espectro não é continuamente distribuído pela frequência, mas sim concentrado em discretos, igualmente espaçados, valores de frequência. Essas frequências são múltiplas de uma frequência base, chamada de harmônica fundamental. A harmônica fundamental é o inverso do período do sinal.
Um sinal periódico pode ser considerado uma “periodização” com período de um sinal aperiódico . Em particular, a periodização é equivalente à convolução (símbolo ) de por um trem de impulsos de Dirac.
Calculando a transformada de Fourier do sinal periódico usando a propriedade da convolução (4.) e a transformada do trem de impulsos (3.), e depois aplicando a primeira soma de Poisson (1.), obtemos:
Onde é a transformada de Fourier do sinal aperiódico , e são os coeficientes da série de Fourier para o sinal periódico . Essa equação mostra que os coeficientes da série de Fourier de um sinal periódico são iguais as amplitudes dos deltas de Dirac da transformada de Fourier. A última equação é mostrada no canto superior direito da Figura 2.
Outro aspecto importante é que a “periodização” no domínio do tempo com período corresponde, na frequência, a uma discretização (amostragem) do espectro com passo e à multiplicação por um fator de . Esta relação pode ser vista na Figura 2 seguindo as setas horizontais que vão de a e de a .
Ver também
[editar | editar código-fonte]Referências
[editar | editar código-fonte]- M. Luise, G. M. Vitetta: Teoria dei segnali, MacGraw-Hill, ISBN 88-386-0809-1 (versão em italiano apenas)