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Rotação de Givens

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Em álgebra linear numérica, uma rotação de Givens é uma rotação no plano gerado por dois eixos de coordenadas. As rotações de Givens foram nomeadas em homenagem à Wallace Givens, que apresentou a técnica aos analistas numéricos na década de 1950, enquanto trabalhava no Argonne National Laboratory.

Representação matricial

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Uma rotação de Givens é representada por uma matriz da forma

onde c = cos θ e s = sen θ aparecem nas interseções das i-ésima e j-ésima linhas e colunas. Isto é, os elementos não-nulos da matriz de Givens são dados por: Note que o sinal dos senos muda quando j > i.

O produto G(i, j, θ)x representa a rotação no sentido anti-horário do vector x no plano (i, j) de θ radianos, por isso o nome de rotação de Givens.

O principal uso das rotações de Givens na álgebra linear numérica é para introduzir zeros em vetores e matrizes. Esse efeito pode, por exemplo, ser usado no cálculo da decomposição QR de uma matriz. Uma vantagem sobre as transformações de Householder é que elas podem ser paralelizadas facilmente, e outra é que frequentemente, para matrizes bastante esparsas elas exigem uma quantidade pequena de operações.

Referências