Em mecânica clássica, um sistema dinâmico de Liouville é um sistema dinâmico com solução exata no qual a energia cinética T e a energia potencial V podem ser expressas em termos de s coordenadas generalizadas q como segue:[1]
![{\displaystyle T={\frac {1}{2}}\left\{u_{1}(q_{1})+u_{2}(q_{2})+\cdots +u_{s}(q_{s})\right\}\left\{v_{1}(q_{1}){\dot {q}}_{1}^{2}+v_{2}(q_{2}){\dot {q}}_{2}^{2}+\cdots +v_{s}(q_{s}){\dot {q}}_{s}^{2}\right\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/48f91a456e1b3f0f735d23564efb0237bf6daf71)
![{\displaystyle V={\frac {w_{1}(q_{1})+w_{2}(q_{2})+\cdots +w_{s}(q_{s})}{u_{1}(q_{1})+u_{2}(q_{2})+\cdots +u_{s}(q_{s})}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1e25953b7c40a50972c7602cd8acabcabba5d5e5)
A solução deste sistema consiste em um conjunto de equações separáveis integráveis
![{\displaystyle {\frac {\sqrt {2}}{Y}}\,dt={\frac {d\varphi _{1}}{\sqrt {E\chi _{1}-\omega _{1}+\gamma _{1}}}}={\frac {d\varphi _{2}}{\sqrt {E\chi _{2}-\omega _{2}+\gamma _{2}}}}=\cdots ={\frac {d\varphi _{s}}{\sqrt {E\chi _{s}-\omega _{s}+\gamma _{s}}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/be857e65a090d9fa231c8ffbfebe18b61d2404f4)
onde E = T + V é a energia conservada e os
são constantes. Como descrito abaixo, as variáveis foram trocadas de qr para φr, e as funções ur e wr substituídas por seus homólogos χr e ωr. Esta solução possiu diversas aplicações tais como a órbita de pequenos planetas em torno duas estrelas fixas sob a influência da gravidade newtoniana. O sistema dinâmico de Liouville é uma das diversas coisas nomeadas em referência a Joseph Liouville, um eminente matemático francês.
Em mecânica clássica, o problema de Euler dos três corpos descreve o movimento de uma partícula no plano sob a influência de dois centros fixos, cada qual atrai a partícula com a força do inverso do quadrado tal como a gravitação ou lei de Coulomb. Exemplos do problema de bicentro incluem um planeta movendo-se ao redor de duas estrelas, ou um elétron movendo-se no campo elétrico de dois núcleos positivamente carregados, tal como o primeiro íon da molécula de hidrogênio H2. A intensidade das duas atrações não podem ser iguais; assim, as duas estrelas devem ter massas diferentes ou os dois núcleos devem ter cargas diferentes.
Seja o centro fixo de atração localizado ao longo do eixo x em ±a. A energia potencial da partícula em movimento é dada por
![{\displaystyle V(x,y)={\frac {-\mu _{1}}{\sqrt {\left(x-a\right)^{2}+y^{2}}}}-{\frac {\mu _{2}}{\sqrt {\left(x+a\right)^{2}+y^{2}}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a9eb18d28a9e92961bd0848f222b3318524a644e)
Os dois centros de atrações pode ser consideradas como o foco de um conjunto de elípses. Se cada centro for ausente, a partícula moveria-se em uma dessas elipses, como uma solução do problema de Kepler. Entretanto, de acordo com o teorema de Bonnet, as mesmas elipses são soluções para o problema de bicentro.
Introduzindo coordenadas elípticas,
![{\displaystyle x=a\cosh \xi \cos \eta ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/82ef895e97946e4a2337a68a2909bb4cafbf0fad)
![{\displaystyle y=a\sinh \xi \sin \eta ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9e6b738054d96675dbb42cae588dac9c557db396)
a energia potencial pode ser escrita como
![{\displaystyle V(\xi ,\eta )={\frac {-\mu _{1}}{a\left(\cosh \xi -\cos \eta \right)}}-{\frac {\mu _{2}}{a\left(\cosh \xi +\cos \eta \right)}}={\frac {-\mu _{1}\left(\cosh \xi +\cos \eta \right)-\mu _{2}\left(\cosh \xi -\cos \eta \right)}{a\left(\cosh ^{2}\xi -\cos ^{2}\eta \right)}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1d969941eb6b931381a4442059c142240080bc45)
e a energia cinética como
![{\displaystyle T={\frac {ma^{2}}{2}}\left(\cosh ^{2}\xi -\cos ^{2}\eta \right)\left({\dot {\xi }}^{2}+{\dot {\eta }}^{2}\right).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b94b9a5a9a3a72cf74d2e4702abcabb60d8937a8)
Este é um sistema dinâmico de Liouville se ξ e η são tomados como φ1 e φ2, respectivamente; assim, a função Y é
![{\displaystyle Y=\cosh ^{2}\xi -\cos ^{2}\eta }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8598301fe1c5e93d13ba06162c5fd657a8990805)
e a função W
![{\displaystyle W=-\mu _{1}\left(\cosh \xi +\cos \eta \right)-\mu _{2}\left(\cosh \xi -\cos \eta \right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/91fd404a7df50ecfc71b50b4393d051f4dc4fc04)
Utilizando a solução geral para um sistema dinâmico de Liouville, obtemos
![{\displaystyle {\frac {ma^{2}}{2}}\left(\cosh ^{2}\xi -\cos ^{2}\eta \right){\dot {\xi }}^{2}=E\cosh ^{2}\xi +\left({\frac {\mu _{1}+\mu _{2}}{a}}\right)\cosh \xi -\gamma }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/efaa72a632aec15c96ddf5251befa6d03d30fb46)
![{\displaystyle {\frac {ma^{2}}{2}}\left(\cosh ^{2}\xi -\cos ^{2}\eta \right)^{2}{\dot {\eta }}^{2}=-E\cos ^{2}\eta +\left({\frac {\mu _{1}-\mu _{2}}{a}}\right)\cos \eta +\gamma }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cbd91be046c7cfc9cad89e761eed315b6f48bfdb)
Introduzindo um parâmetro u pela fórmula
![{\displaystyle du={\frac {d\xi }{\sqrt {E\cosh ^{2}\xi +\left({\frac {\mu _{1}+\mu _{2}}{a}}\right)\cosh \xi -\gamma }}}={\frac {d\eta }{\sqrt {-E\cos ^{2}\eta +\left({\frac {\mu _{1}-\mu _{2}}{a}}\right)\cos \eta +\gamma }}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f0edf804e5001a4ff9f45de631d4cbe8304d8364)
resulta numa solução paramétrica
![{\displaystyle u=\int {\frac {d\xi }{\sqrt {E\cosh ^{2}\xi +\left({\frac {\mu _{1}+\mu _{2}}{a}}\right)\cosh \xi -\gamma }}}=\int {\frac {d\eta }{\sqrt {-E\cos ^{2}\eta +\left({\frac {\mu _{1}-\mu _{2}}{a}}\right)\cos \eta +\gamma }}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a781776bb3046c681e3a21b9bd8a2b3bd1ddba06)
Desde que estas são integrais elípticas, as coordenadas ξ e η podem ser expressas como funções elípticas de u.
O problema bicêntrica possui uma constante de movimento, nomeadamente,
![{\displaystyle r_{1}^{2}r_{2}^{2}\left({\frac {d\theta _{1}}{dt}}\right)\left({\frac {d\theta _{2}}{dt}}\right)-2c\left[\mu _{1}\cos \theta _{1}+\mu _{2}\cos \theta _{2}\right],}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6b031f911bc9a8c9fd81800f52a5532e15fc921a)
a partir das quais o problema pode ser resolvido usando o método do último multiplicador.
Referências