O nome soma telescópica deriva da função do telescópio, ou seja , assim como este objeto encurta a enorme distancia entre nossos olhos e os corpos celestes , esta propriedade encurta o caminho entre a soma inicial de muitas parcelas e o cálculo do resultado da mesma.
Então o objetivo das somas telescópicas é facilitar o trabalho, de modo que não seja necessário desenvolver uma quantidade infinita de termos ou simplificar por muito tempo uma cadeia de adendo
A totalidade dos termos não será expressa, tornando-se necessária apenas para a demonstração do resultado, mas não para o processo normal de cálculo.
O importante é notar a convergência das séries numéricas. Às vezes, o argumento da soma não será expresso telescopicamente. Nesses casos, a implementação de métodos alternativos de fatoração é muito comum. Veja propriedades auxiliares em somatório.
Em matemática, esta soma segue um dos seguintes padrões:
![{\displaystyle \sum _{k=1}^{N}(F_{k}-F_{k+1})=F_{1}-F_{n+1}\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b66c9f50e483adbdc6e2cf72d2ad3fdea751e4da)
Ou
![{\displaystyle \sum _{k=1}^{N}(F_{k+1}-F_{k})=F_{n+1}-F_{1}\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/282ef5ddbfbc128ce6308447bd395c2d91dbf770)
Ainda, de forma similar:
![{\displaystyle (a_{2}-a_{1})+(a_{3}-a_{2})+(a_{4}-a_{3})+\ldots +(a_{n}-a_{n-1})\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/862f1aecb72d85d10d3dd8a05c1ed50603609636)
Esta soma pode ser simplificada:
![{\displaystyle (a_{2}-a_{1})+(a_{3}-a_{2})+(a_{4}-a_{3})+\ldots +(a_{n}-a_{n-1})=a_{n}-a_{1}\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1223934d537a6ee84398c0b4e825d32e7f4132a3)
Naturalmente qualquer seqüência de termos
pode ser escrita como uma soma telescópica:
![{\displaystyle b_{n}=b_{1}+(b_{2}-b_{1})+(b_{3}-b_{2})+\ldots +(b_{n}-b_{n-1})\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/91e661bc2395aa90fe54d738d9b25c74aa973794)
Dada uma sequencia
tem-se que
Dessa forma:
![{\displaystyle {\begin{aligned}\Delta \ F_{1}&{}=F_{2}-F_{1}\\\Delta \ F_{2}&{}=F_{3}-F_{2}\\\Delta \ F_{3}&{}=F_{4}-F_{3}\\&{}\ldots \\\Delta \ F_{n-1}&{}=F_{n}-F_{n-1}\\\Delta \ F_{n}&{}=F_{n+1}-F_{n}\\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bfc071d30834edc75b4ed7dd084ff703ae9302f8)
Somando todas as equações membro a membro:
![{\displaystyle \Delta F_{1}+\Delta F_{2}+\ldots +\Delta F_{n}=F_{2}-F_{1}+F_{3}-F_{2}+\ldots +F_{n}-F_{n-1}+F_{n+1}-F_{n}\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/955ff74d22e15c6089ab1051756e64794e5533fe)
Efetuando os devidos cancelamentos, temos:
![{\displaystyle \Delta F_{1}+\Delta F_{2}+\ldots +\Delta F_{n}=F_{n+1}-F_{1}\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bb65fdd7333acc2f352e3d0d9befc980078a3508)
Portanto:
![{\displaystyle \sum _{k=1}^{N}(F_{k+1}-F_{k})=F_{n+1}-F_{1}\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/282ef5ddbfbc128ce6308447bd395c2d91dbf770)
Ao desenvolver a soma, a eliminação de fatores é bem obvia.
O primeiro caso será tomado como exemplo, sendo o processo do segundo feito de forma análoga.
Para limite = 3:
![{\displaystyle \sum _{k=1}^{3}(F_{k}-F_{k+1})\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2afbadc002cd0a79ff476c60294bb6835233c996)
·
·
·
Expressando a soma dos elementos descritos:
![{\displaystyle \sum _{k=1}^{3}(F_{k}-F_{k+1})=X_{1}+X_{2}+X_{3}=F_{1}-F_{2}+F_{2}-F_{3}+F_{3}-F_{4};\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a2d602a42f4cc52f17d4f7d06093d238d48ac82c)
Observe que os termos
e
, são descritos junto com seus opostos, sendo sua simplificação inevitável.Da mesma forma é notado que os termos
e
se mantem.
Significa que
é o termo genérico
.
Demonstrando a igualdade:
![{\displaystyle \sum _{k=1}^{N}(F_{k}-F_{k+1})=F_{1}-F_{n+1}\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b66c9f50e483adbdc6e2cf72d2ad3fdea751e4da)
______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
De forma análoga temos como exemplo o segundo caso:
Para limite = 5:
![{\displaystyle \sum _{k=1}^{5}(F_{k+1}-F_{k})\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9e5818f78607e5e07ab90031a0d935fbd221513c)
·
·
·
·
·
Expressando a soma dos elementos descritos:
![{\displaystyle \sum _{k=1}^{5}(F_{k}-F_{k+1})=X_{1}+X_{2}+X_{3}+X_{4}+X_{5}=F_{2}-F_{1}+F_{3}-F_{2}+F_{4}-F_{3}+F_{5}-F_{4}+F_{6}-F_{5};\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c86d2bcb62fbbbef3efb44a68c050af54b70354f)
Observe que os termos
e
, são descritos junto com seus opostos, sendo sua simplificação inevitável.Da mesma forma é notado que os termos
e
se mantem.
Significa que
é o termo genérico
.
Demonstrando a igualdade:
![{\displaystyle \sum _{k=1}^{N}(F_{k+1}-F_{k})=F_{n+1}-F_{1}\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/282ef5ddbfbc128ce6308447bd395c2d91dbf770)
Observe que o denominador segue o padrão:
.Logo, esta soma pode ser escrita como:
![{\displaystyle {\frac {1}{1(2)}}+{\frac {1}{2(3)}}+{\frac {1}{3(4)}}+\ldots +{\frac {1}{999(1000)}}=\sum _{k=1}^{999}{\frac {1}{k(k+1)}}\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/57b343e30fe598f0fce591c7273994ba9d10010d)
A ideia é usar a propriedade telescopica para facilitar o calculo , assim , buscamos escrever o termo
como a diferença de outros dois.
Então,
Assim:
![{\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{k=1}^{999}{\frac {1}{k(k+1)}}&{}=\sum _{k=1}^{999}\left({\frac {1}{k}}-{\frac {1}{k+1}}\right)\\&{}=\left(1-{\frac {1}{2}}\right)+\left({\frac {1}{2}}-{\frac {1}{3}}\right)+\cdots +\left({\frac {1}{k}}-{\frac {1}{k+1}}\right)\\&{}=1+\left(-{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{2}}\right)+\left(-{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{3}}\right)+\cdots +\left(-{\frac {1}{k}}+{\frac {1}{k}}\right)-{\frac {1}{k+1}}\\&{}=1-{\frac {1}{k+1}}\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/09d10ca0f7d5649968398a865c11492a9badc7de)
Portanto:
.
Calcule:
Desenvolvendo a soma temos:
Vemos que os termos de
ate
se cancelam e portanto o calculo pode ser resumido a:
![{\displaystyle \sum _{n=3}^{10}2^{n}-2^{n+1}=2^{3}-2^{11}=-2040\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f3d51383b3c109b35c96a60bb61526ff1fc849b9)
Usando a propriedade telescópica não é necessário o desenvolvimento , apenas perceber que se trata de uma soma telescópica, chegando ao resultado mais rápido.
Dada a seguinte sequencia recursiva:
.Calcule
.
A princípio, inverte-se a equação que define
para desmembra-la em duas frações como veremos a seguir:
![{\displaystyle {\frac {1}{a_{n+1}}}={\frac {1+na_{n}}{a_{n}}}\Rightarrow {\frac {1}{a_{n+1}}}={\frac {1}{a_{n}}}+{\frac {na_{n}}{a_{n}}}\Rightarrow {\frac {1}{a_{n+1}}}={\frac {1}{a_{n}}}+n\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ba2dd2135d5629e270c06b9a8670fd964ee52faa)
Fazendo
![{\displaystyle b_{n+1}=b_{n}+n}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e9046535991937b4a6adbeae2dc47416ad499b82)
Desenvolvendo os termos temos:
![{\displaystyle {\begin{aligned}b_{2}&{}=b_{1}+1\\b_{3}&{}=b_{2}+2\\&{}\ldots \\b_{2011}&{}=b_{2010}+2010\\b_{2012}&{}=b_{2011}+2011\\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ae61ffe965fc10e5170ff567c3e448f7e5695716)
Isolando as variaveis tem-se:
![{\displaystyle {\begin{aligned}b_{2}-b_{1}&{}=1\\b_{3}-b_{2}&{}=2\\&{}\ldots \\b_{2011}-b_{2010}&{}=2010\\b_{2012}-b_{2011}&{}=2011\\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/23848506ef476588270f43ddb12a0e79e9dd7958)
Somando todas as equações:
Nota-se que pela propriedade da soma telescópica :
Por propriedade de Progressão Aritmetica:
. Por definição.
Portanto
Logo,
.
Veremos que os termos de
seguem uma progressão aritmetica de razão 1.
Desenvolvendo os termos:
![{\displaystyle {\begin{aligned}\ i_{2}&{}=i_{1}+1\\\ i_{3}&{}=i_{2}+1\\&{}\ldots \\\ i_{n}&{}=i_{n-1}+1\\\ i_{n+1}&{}=i_{n}+1\\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b23e915196752b326d4ec66797abf7f28978b427)
Se fizermos a subtração de termos consecutivos afirmamos a sentença do enunciado.
![{\displaystyle {\begin{aligned}\ i_{2}-i_{1}&{}=1\\\ i_{3}-i_{2}&{}=1\\&{}\ldots \\\ i_{n}-i_{n-1}&{}=1\\\ i_{n+1}-i_{n}&{}=1\\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/05275729aeb29242b90c286cfc3967fdb9c659f7)
Somando as equações da segunda sequencia apresentada teremos:
![{\displaystyle \ i_{2}-i_{1}+i_{3}-i_{2}+\ldots +i_{n}-i_{n-1}+i_{n+1}-i_{n}=1+1+\ldots +1+1\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/78036ec8f5fd80b978710397a82eee1abb78dbdf)
A partir da propriedade telescopica ,cancelamos os termos que aparecem acompanhados de seus opostos e obtemos:
![{\displaystyle \ i_{n+1}-i_{1}=1+1+\ldots +1+1\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fb92cf1e986f2ce80d38c146bdc437016396b7dd)
![{\displaystyle \ i_{n+1}-i_{1}=n*1\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/49a94bb075c6b252feaef03faa4752c40a02882e)
Como trata-se de uma PA , por este método definimos a formula do termo geral:
![{\displaystyle \ i_{n+1}=n*1+i_{1}\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9e802b7aeba0af593a311eb026a02941795c7309)
A soma da PA ,entretanto, segue a seguinte forma:
![{\displaystyle {\frac {(i_{1}+i_{n+1})n}{2}}\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9041acaf136015ba67985caf121e70231627cce0)
Pois se analisarmos que :
![{\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{i=1}^{n+1}i&{}=\sum _{i=1}^{n}i+i_{n+1}\\\ i_{n+1}&{}=n*1+i_{n}\\\sum _{i=1}^{n}i&{}=\sum _{i=1}^{n-1}i+i_{n}\\\therefore \sum _{i=1}^{n+1}i&{}=\sum _{i=1}^{n-1}i+i_{n}+n*1+i_{n}\\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9ba48a45ad77a65d770cd72343ce9f47d9b49280)
Fica evidente a duplicidade dos termos na soma, logo , deve-se dividir por 2.
Se
para
e
.Determine
![{\displaystyle \ a_{n+1}=a_{n}+{\frac {1}{2}}\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/313ca00aee5d134e89813777fcf70c5535c0506d)
cte. (Progressão aritmética de razão
)
Desenvolvendo os termos, temos:
![{\displaystyle {\begin{aligned}\ a_{n+1}-a_{n}&{}={\frac {1}{2}}\\\ a_{n}-a_{n-1}&{}={\frac {1}{2}}\\\ a_{n-1}-a_{n-2}&{}={\frac {1}{2}}\\&{}\ldots \\\ a_{2}-a_{1}&{}={\frac {1}{2}}\\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2a1279c21dc97954188bdd7258411e71767aac11)
Somando-se as equações e utilizando a propriedade da soma telescópica:
![{\displaystyle \ a_{n+1}-a_{1}=n{\frac {1}{2}}\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cf9ec7ba138bc4eae44e46f9597115bcb980699b)
Logo, a formula do termo geral será:
![{\displaystyle \ a_{n+1}=a_{1}+n{\frac {1}{2}}\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/de72189a65f371c56cec0cf2af0ec08514483761)
Desta forma,
![{\displaystyle {\begin{aligned}\ n+1=101;n=100.\\\ \\\ a_{101}&{}=a_{1}+n{\frac {1}{2}}\\\ a_{101}&{}=2+100{\frac {1}{2}}\\\ a_{101}&{}=52\\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bbcb6f53aac54d0147a238b3ab7a1cdeeed29676)
Define-se série telescópica como o limite da soma telescópica:
![{\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }(a_{n+1}-a_{n})=\lim _{n\to \infty }a_{n+1}-a_{1}=\lim _{n\to \infty }a_{n}-a_{1}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/983272c411b50c0ae0ad2b010120a6f21c8c44d4)
A série telescópica converge, portanto, se e somente se existe o limite