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O teorema da base média do triângulo afirma que, dado um triângulo qualquer, o segmento com extremos nos pontos médios de dois lados desse triângulo é paralelo ao terceiro lado, e sua medida é igual a metade desse terceiro lado.[ 1]
Triângulo ABC qualquer.
Demostração da base média
Dado um
△
A
B
C
{\textstyle \triangle ABC}
qualquer, sendo M ponto médio do lado
A
B
¯
{\textstyle {\overline {AB}}}
e N o ponto médio do lado
A
C
¯
{\textstyle {\overline {AC}}}
. Queremos mostrar que
M
N
¯
/
/
B
C
¯
{\textstyle {\overline {MN}}/\!/{\overline {BC}}}
e ainda
M
N
=
1
2
B
C
.
{\textstyle MN={\frac {1}{2}}BC.}
Hipótese:
{
A
M
¯
≡
M
B
¯
A
N
¯
≡
N
C
¯
{\textstyle \left\{{\begin{matrix}{\overline {AM}}\equiv {\overline {MB}}\\{\overline {AN}}\equiv {\overline {NC}}\end{matrix}}\right.\quad \quad }
Tese:
{
M
N
¯
/
/
B
C
¯
M
N
=
(
1
2
)
B
C
{\textstyle \left\{{\begin{matrix}{\overline {MN}}/\!/{\overline {BC}}\\MN=\left({\frac {1}{2}}\right)BC\end{matrix}}\right.}
Traçando s paralela a
A
B
¯
{\textstyle {\overline {AB}}}
, passando por C. Onde
M
N
↔
∩
s
=
D
{\textstyle {\overleftrightarrow {MN}}\cap s=D}
Pelo caso lado, ângulo, ângulo oposto:
△
A
M
N
≡
△
C
D
N
⇒
{
A
N
¯
≡
C
N
¯
(hipótese)
A
N
^
M
≡
C
N
^
D
(oposto pelo vértice)
A
M
^
N
≡
C
D
^
N
(alternos internos)
{\textstyle \triangle AMN\equiv \triangle CDN\Rightarrow \left\{{\begin{matrix}{\overline {AN}}\equiv {\overline {CN}}{\text{ (hipótese) }}\\A{\hat {N}}M\equiv C{\hat {N}}D{\text{ (oposto pelo vértice) }}\\A{\hat {M}}N\equiv C{\hat {D}}N{\text{ (alternos internos) }}\end{matrix}}\right.}
Consequentemente temos
C
D
¯
≡
A
M
¯
≡
M
B
¯
{\displaystyle {\overline {CD}}\equiv {\overline {AM}}\equiv {\overline {MB}}}
e como
C
D
¯
/
/
M
B
¯
{\displaystyle {\overline {CD}}/\!/{\overline {MB}}}
temos que BCDM é paralelogramo , logo
M
N
¯
/
/
B
C
¯
{\displaystyle {\overline {MN}}/\!/{\overline {BC}}}
. Ainda da congruência dos triângulos temos
M
N
¯
≡
N
D
¯
{\displaystyle {\overline {MN}}\equiv {\overline {ND}}}
e como
M
D
¯
≡
B
C
¯
{\displaystyle {\overline {MD}}\equiv {\overline {BC}}}
, então
M
N
=
1
2
B
C
{\displaystyle MN={\frac {1}{2}}BC}
.
Referências
↑ DOLCE, Osvaldo; POMPEU, José N. Fundamentos de Matemática Elementar - Vol. 9 - Geometria Plana - 9ª Ed. 2013