Teorema da comparação de Rauch
Este artigo ou secção contém uma lista de referências no fim do texto, mas as suas fontes não são claras porque não são citadas no corpo do artigo, o que compromete a confiabilidade das informações. (Setembro de 2021) |
Em geometria riemanniana, o Teorema da Comparação de Rauch, provado em 1951 por Harry Rauch, é um resultado fundamental que relaciona a curvatura seccional de uma variedade riemanniana com a taxa com a qual suas geodésicas se afastam. Intuitivamente, ele diz que para maiores curvaturas as geodésicas se afastam menos, enquanto para curvaturas menores elas se afastam mais, e no caso de curvaturas negativas nunca vão se encontrar. Essa visão é traduzida via Campos de Jacobi e pontos conjugados, comparando com os espaço-forma R^n, H^n e S^n, onde esses campos são bem conhecidos.
Enunciado do Teorema
[editar | editar código-fonte]Sejam , variedades riemannianas e sejam e segmentos geodésicos parametrizados pelo comprimento de arco tais que não tem pontos conjugados ao longo de . Sejam ainda , campos de Jacobi normais respectivamente ao longo de e tais que e . Suponha adicionalmente que as curvaturas seccionais de e satisfazem sempre que é um plano contendo e é um plano contendo . Então para todo .
Referências
[editar | editar código-fonte]- do Carmo, M.P. Riemannian Geometry, Birkhäuser, 1992.
- Lee, J. M., Riemannian Manifolds: An Introduction to Curvature, Springer, 1997.