O teorema da contração estabelece a existência e unicidade de pontos fixos para aplicação contrativas em espaços métricos completos compactos. É muito semelhante com o teorema do ponto fixo de Banach, porém não exige que a contração seja uniforme mas exige que o espaço seja compacto.
Seja
um espaço métrico completo compacto e
uma aplicação.
Diz-se que
é uma contração se:
![{\displaystyle d(f(x),f(y))<d(x,y)~~~\forall x\neq y\in \mathbb {X} \,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/58671f8b1cbf4947366a58276844d92ec48adc8a)
O teorema afirma que então existe um único ponto
tal que:
![{\displaystyle f(x^{*})=x^{*}\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a56da141b6e0f91cbfc4b324b89ea9374097b7b5)
Observe que toda contração é uma função contínua.
Suponha que
admita dois pontos fixos diferentes
e
. Então:
, um absurdo.
Defina a função auxiliar
como:
![{\displaystyle h(x)={\hbox{d}}(x,f(x))\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/240466fb0543f17ccc7dd41648e46a7e5680504e)
Esta função é contínua, pois
o é, logo assume um mínimo no compacto
:
![{\displaystyle \delta =\inf _{x\in \mathbb {X} }h(x)=h(x^{*})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3c0c7ab035501d6eb4a33489add0295a0077e8fc)
, para algum
.
Resta-nos mostrar que
é um ponto fixo de
, o que equivale a mostrar que
.
Mas,
, se acontecer a desigualdade estrita
, podemos definir
e temos:
, assim ![{\displaystyle x^{*}\neq y^{*}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ab18b8d0ca6defbdc58957e92054bc8a2c3c6a2a)
, do fato de ser mínimo.
, um absurdo.
E o resultado segue.