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Teorema de Banach-Steinhaus

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Em matemática, o teorema de Banach-Steinhaus, também conhecido como princípio da limitação uniforme é um importante resultado da análise funcional. O teorema foi originalmente publicado por Stefan Banach e Hugo Steinhaus em 1927.

Seja um espaço de Banach e um espaço normado não necessariamente completo. Seja ainda uma família de operadores lineares limitados definidos de em . Defina ainda:

Então, se é de segunda categoria em então:

  • e

Demonstrações

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O teorema em si surge primeiramente para funcionais lineares contínuos por H. Hahn em 1922, mas a demonstração clássica utiliza o teorema da categoria de Baire é devida a S. Banach e H. Steihaus em 1927. [1] Em 2011, o matemático A. Sokal apresentou uma demonstração sem fazer o uso do mesmo[2].

Demonstração Clássica

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Escreva:

Como

e cada um dos operadores é contínuo, é fechado. Do fato de que é de segunda categoria em e pelo teorema da categoria de Baire. Pelo menos um dos possui interior não vazio.

Da linearidade dos operadores, e portanto, existe um e um tais que:

, é bola de centro e raio .

Como é convexo, pode-se considerar .

Escolha tal que e estime:

E o resultado segue.

Demonstração sem utilizar o Teorema de Baire

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Primeiro, vejamos um resultado técnico:

Lema. Para qualquer operador linear entre espaços normados, qualquer e qualquer , têm-se

onde denota a bola aberta de centro e raio .

Demonstração. De fato, para qualquer , vale a seguinte desigualdade:

dado que , aplicando a desigualdade triangular segue.

Porém, para quaisquer . Ou seja:

Tomando a norma do supremo em ,

Terminando a demonstração do lema .

Demonstração do Teorema da Limitação Uniforme. Suponha por absurdo que .

Então existe uma sequência tal que para qualquer .

Pelo lema técnico garantido acima, existe tal que, para todo ,

Tal sequência é de Cauchy e por ser Banach, existe um de modo que se , então .

Portanto,

para qualquer e qualquer .


O absurdo está em contrariar a hipótese de que . Logo, não pode ser o caso de

Exemplos e Aplicações

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Para explicitar a necessidade da hipótese de completude temos o exemplo abaixo:

Seja o espaço normado dos elementos com somente para num conjunto finito de índices. Defina por . Então para todo e para cada existe o limite , mas .

Segue aplicação do teorema para estudo da continuidade de aplicações bilineares:

Corolário. Sejam Espaços de Banach. Se é uma aplicação bilinear separadamente contínua (ou seja, e são lineares e contínuas para cada e cada , respectivamente), então é contínua, ou seja, se e , então .

  1. Oliveira, César (2015). Introdução à Análise Funcional. Rio de Janeiro: [s.n.] p. 53. ISBN 978-85-244-0311-8 
  2. Alan D. Sokal (2011). «A Really Simple Elementary Proof of the Uniform Boundedness Theorem». The American Mathematical Monthly (5). 450 páginas. ISSN 0002-9890. doi:10.4169/amer.math.monthly.118.05.450. Consultado em 23 de julho de 2021