Em matemática, o teorema de Steinhaus é um importante resultada da teoria da medida.
Seja
um subconjunto dos números reais com medida de Lebesgue positiva então a diferença
contém uma vizinhança da origem.
Seja
um conjunto mensurável à Lebesgue com a seguinte propriedade de densidade:
![{\displaystyle \mu (S\cap [a,b])\leq \rho (b-a)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e7b193a14e86fbb8bb5fe7c878c38b7d9560d371)
onde
Então
tem conjunto de medida zero.
Suponha, por absurdo, que
tem medida positiva. Fixe
Pela definição de medida de Lebesgue, existem intervalos
tais que:
![{\displaystyle \bigcup _{n=1}^{\infty }(a_{n},b_{n})\supseteq S\Longrightarrow S=\bigcup _{n=1}^{\infty }S\cap (a_{n},b_{n})\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/08ee62bb3a6d3a8f39a47dc77129d976a1ee642a)
![{\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }(b_{n}-a_{n})\leq k\mu (S)\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4aa72d75809932edb8eaaf1d38e7a82b559f9b86)
Portanto:
, uma contradição.
Escolha
e
tal que
, defina
e:
![{\displaystyle F:=E-E\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/24a044a89fadfca0cda0db479979d31dda42cd75)
Vamos mostrar que
contém uma vizinhança da origem. Suponha por absurdo que não, ou seja, para todo
, existe
tal que
e
Isso significa que
Podemos estimar:
Equivalente a:
, uma contradição se escolhermos
suficientemente pequeno.