Teorema do número poligonal de Fermat

O teorema do número poligonal de Fermat diz que todo número natural é soma de, no máximo, n números poligonais. Todo número natural pode ser escrito como a soma de três ou menos números triangulares, ou quatro ou menos números quadrados, ou cinco ou menos números pentagonais, e assim sucesivamente. 17, por exemplo, pode ser escrito como:

17 = 10 + 6 + 1 (números triangulares)

17 = 16 + 1 (números quadrados)

17 = 12 + 5 (números pentagonais).

Um caso especial bem conhecido do teorema é o teorema dos quatro quadrados de Lagrange, que prova que todo número natural pode ser expresso como a soma de quatro quadrados, por exemplo, 7 = 4 + 1 + 1 + 1.

Joseph Louis Lagrange demonstrou o caso quadrado em 1770 e Carl Friedrich Gauss demonstrou o caso triangular em 1796 e escreveu no seu caderno "ΕΥΡΗΚΑ! N = Δ + Δ + Δ", porém o teorema só foi provado de forma geral por Cauchy em 1813. Uma demostração de Nathanson (1987) está baseada no seguinte lema dado por Cauchy:

Para números naturais ímpares $a$ e $b$ tais que $b^{2}<4a$ e $3a<b^{2}+2b+4$ se pode encontrar números inteiros não negativos $s,t,u$ e $v$ tais que $a=s^{2}+t^{2}+u^{2}+v^{2}$ e $b=s+t+u+v.$