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Teorema multinomial

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Em matemática, o teorema multinomial, polinômio de Leibnitz, polinômio de Leibniz ou fórmula do multinômio de Newton é uma generalização do binômio de Newton.[1]

A soma é feita sobre todas as possibilidades de índices inteiros não negativos k1 até km tais que .

Os coeficientes multinomiais são definidos como:[2]

Trinômio de Newton

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A potência arbitrária de um trinômio pode ser obtida por um caso particular da fórmula do multinômio de Newton:

Onde , e são números reais e n é um número natural.

Seja , então temos

Isso pode ser calculado usando a propriedade distributiva da multiplicação sobre a adição, mas também pode ser feito (talvez mais facilmente) com o teorema multinomial. É possível descobrir os coeficientes multinomiais dos termos usando a fórmula do coeficiente multinomial. Por exemplo:

tem o coeficiente
tem o coeficiente

Referências

  1. Gossett, Eric (2009). Discrete Mathematics with Proof (em inglês) segunda ed. [S.l.]: John Wiley & Sons. p. 251. ISBN 978-0470457931 
  2. «Lattice Paths: Multinomial Coefficients and Set Partitions». dlmf.nist.gov (em inglês). National Institute of Standards and Technology. 2010. Consultado em 21 de maio de 2022