Topologia da ordem
A topologia da ordem é a topologia associada a uma relação de ordem em um conjunto.
Definição
[editar | editar código-fonte]Seja um conjunto ordenado, em que a relação de ordem não precisa ser de ordem total. Podemos associar 3 topologias a essa relação de ordem parcial, definidas por suas sub-bases:
- A topologia da ordem à esquerda, em que a sub-base é formada pelos conjuntos da forma .
- A topologia da ordem à direita, em que a sub-base é formada pelos conjuntos da forma .
- A topologia da ordem, em que a sub-base é formada pelos conjuntos e .
Ordem Total
[editar | editar código-fonte]Se a relação é de ordem total, então a topologia da ordem é Hausdorff.
Prova: sejam . Considere os abertos e . Se sua interseção for vazia, então provamos que a e c estão separados por abertos. Caso contrário, existe , portanto . Então separamos a e c pelos abertos disjuntos e .
Como contraexemplo, temos o conjunto {2, 3, 6} ordenado pela relação quando a for um divisor próprio de b. A sub-base da topologia da ordem contém os conjuntos , , e , portanto a topologia da ordem é que não é Hausdorff.