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Em matemática, a transformada real de Fourier é uma transformada integral derivada da transformada de Fourier, que apresenta a vantagem de evitar a necessidade de se trabalhar com números complexos no cálculo.
A transformada real de Fourier R(ν) de uma função f(t) é definida pelas expressões
![{\displaystyle R(\nu )\;=\;{\mathcal {R}}f(t)\}\;=\;2\;\int _{-\infty }^{\infty }f(t)\cdot \cos(2\pi \nu t\;+\;\theta (\nu ))\;dt\;\;\;\;\;(1a)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b669668372183a3d54e1d6bc4aae7d782b9b5e27)
![{\displaystyle \theta (\nu )\;=\;\left\{{\begin{matrix}{\frac {1}{2}}&:&\nu <0\\0&:&\nu \geq 0\end{matrix}}\right.\;\;\;\;\;(1b)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a3128a9572bafde75a83ff0e7fd22cd8727324a3)
A transformada inversa é dada por
![{\displaystyle f(t)\;=\;{\mathcal {R}}^{-1}\{R(\nu )\}\;=\;\int _{-\infty }^{\infty }R(\nu )\cdot \cos(2\pi \nu t\;+\;\theta (\nu ))\;d\nu \;\;\;\;\;(2a)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c4d7fdbee9d0a7de279d1639ba3bd71c9027df1c)
Uma expressão alternativa para (2a) é
![{\displaystyle f(t)\;=\;{\mathcal {R}}^{-1}\{R(\nu )\}\;=\;\int _{0}^{\infty }\left[R_{i}(\nu )\cdot \sin(2\pi \nu t)\;+\;R_{p}(\nu )\cdot \cos(2\pi \nu t)\right]\;d\nu \;\;\;\;\;(2b)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ae5dbbac237d0a63ee489bb747a01c19e2a5b6ef)
com Ri(ν) e Rp(ν) sendo, respectivamente, as componentes ímpar e par de R(ν), dadas pelas equações seguintes:
![{\displaystyle R_{i}(\nu )\;=\;2\;\int _{-\infty }^{\infty }f(t)\cdot \sin(2\pi \nu t)\;dt\;\;\;\;\;(1c)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f65a56f1c74407cde561246b88549297fe096c87)
![{\displaystyle R_{p}(\nu )\;=\;2\;\int _{-\infty }^{\infty }f(t)\cdot \cos(2\pi \nu t)\;dt\;\;\;\;\;(1d)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3624c1acc0f77de9ee73ec97a4b63bf4f27dca7b)
Ri(ν) e Rp(ν) possuem a propriedade interessante
[1]
Para que a transformada real de Fourier de uma função f(t) exista, é necessário que:
- f(t) seja uma função real de valores reais
- f(t) seja um sinal de energia finita[1][nota 1]
Referências
- ↑ a b K. Olejniczak - The Hartley Transform in A. Poularikas (org) - The Transforms and Applications Handbook, 2nd. edition, Boca Raton: CRC, 2000, Cap. 4, pag. 352