Trissectriz de Maclaurin
Em geometria, a trissectriz de Maclaurin é uma curva plana cúbica notável por sua propriedade trissectriz, isto é, ela pode ser utilizada para trissecionar ângulos. Tal propriedade pode ser definida como o lugar geométrico dos pontos de interseção de duas retas, cada uma girando a uma velocidade uniforme sobre pontos distintos, de tal forma que a relação entre as taxas de rotação é de 1/3 e as retas inicialmente coincidem com a reta divisória entre os dois pontos. A generalização deste tipo de construção é chamada sectriz de Maclaurin. O nome da curva foi dado em homenagem a Colin Maclaurin que a investigou em 1742.
Equações
[editar | editar código-fonte]Considere duas retas que giram em torno dos pontos e de modo que quando a reta sobre forma um ângulo com o eixo x, a reta sobre forma um ângulo . Seja o ponto da intersecção. Então o ângulo formado pelas retas em é . Pela lei dos senos,
de modo que a equação em coordenadas polares é (sob uma translação e rotação)
- .
Assim, a curva pertence à família das concóides de Sluze.
Em coordenadas cartesianas, sua equação é
- .
Se a origem é transladada para (a, 0), então uma dedução semelhante à acima mostra que a equação da curva em coordenadas polares se torna
O que a torna um exemplo de epispiral.
A propriedade da trissecção
[editar | editar código-fonte]Dado um ângulo , desenhemos um raio de circunferência no ponto , cujo ângulo com o eixo é . Desenhemos um raio de circunferência na origem até o ponto onde o primeiro raio de circunferência intersecta a curva. Então, através do gráfico da curva, o ângulo entre o segundo raio e o eixo é .
Principais pontos e características
[editar | editar código-fonte]A curva intercepta o eixo x em em , além de um ponto duplo na origem. A reta vertical é uma assíntota. A curva intersecta a reta x = a (o ponto correspondente à trissecção de um ângulo reto) em . Como toda cúbica nodal, a curva possui ordem zero.
Relação com outras curvas
[editar | editar código-fonte]A trissectriz de Maclaurin pode ser definida a partir de secções cônicas de três maneiras. Especificamente:
- .
- É cissóide ao círculo
- e à reta em relaçao à origem.
- .
Além disso:
- A inversa em relação ao ponto é a trissectriz de Limaçon.
- A trissectrix de Maclaurin está relacionada com o folium de Descartes através de transformações afins.
Referências
[editar | editar código-fonte]- Este artigo foi inicialmente traduzido, total ou parcialmente, do artigo da Wikipédia em inglês cujo título é «Trisectrix of Maclaurin», especificamente desta versão.
- J. Dennis Lawrence (1972). A catalog of special plane curves. [S.l.]: Dover Publications. pp. 36,95,104–106. ISBN 0-486-60288-5
- Weisstein, Eric W. «Maclaurin Trisectrix». MathWorld (em inglês)
- "Trisectrix of Maclaurin" at MacTutor's Famous Curves Index
- "Trisectrix of MacLaurin" on 2dcurves.com
- "Trisectrix of Maclaurin" at Visual Dictionary Of Special Plane Curves
- "Trisectrice de Maclaurin" at Encyclopédie des Formes Mathématiques Remarquables