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A geometria discreta[1] e a geometria combinatória[2] são ramos de geometria que estudam propriedades combinatórias e métodos construtivos de objetos geométricos discretos. A maioria das questões em geometria discreta envolvem conjuntos finitos ou discretos de objetos geométricos básicos, como pontos, linhas, planos, círculos, esferas, polígonos e assim por diante. O assunto centra-se nas propriedades combinatórias desses objetos, como a forma como eles se cruzam, ou como eles podem ser organizados para cobrir um objeto maior.
A geometria discreta possui uma grande sobreposição com geometria convexa e geometria computacional, e está intimamente relacionada a assuntos como geometria finita, otimização combinatória[3], geometria digital, geometria diferencial discreta, teoria geométrica dos grafos, geometria torácica e topologia combinatória.
História
[editar | editar código-fonte]Embora poliedros e tesselagens tenham sido estudados por muitos anos por pessoas como Kepler e Cauchy, a geometria discreta moderna tem suas origens no final do século XIX. Os primeiros tópicos estudados foram: a densidade das embalagens em círculo por Thue, as configurações projetivas de Reye e Steinitz, a geometria dos números de Minkowski e as cores do mapa de Tait, Heawood e Hadwiger.
László Fejes Tóth, H.S.M. Coxeter e Paul Erdős, lançaram as bases da geometria discreta.[4][5][6]
Tópicos na geometria discreta
[editar | editar código-fonte]Poliedros e polítopos
[editar | editar código-fonte]Um polítopo é um objeto geométrico com lados planos, que existe em qualquer número geral de dimensões. Um polígono é um polítopo em duas dimensões, um poliedro em três dimensões, e assim por diante em dimensões mais altas (como um 4-polítopo em quatro dimensões). Algumas teorias generalizam ainda mais a idéia para incluir objetos como polítopos ilimitados (apeirotopes e tesselagens) e polítopos abstratos.
Os seguintes são alguns dos aspectos dos polítopos estudados em geometria discreta:[7]
- Combinação poliédrica
- Polítopos de estrutura
- Polinômios de Ehrhart
- Teorema de Pick
- Conjetura de Hirsch
Embalagens, revestimentos e pavimentação
[editar | editar código-fonte]Embalagens, revestimentos e pavimentação são formas de organizar objetos uniformes (normalmente círculos, esferas ou ladrilhos) de forma regular em uma superfície ou coletor.
Uma embalagem de esfera é um arranjo de esferas que não se sobrepõem dentro de um espaço contendo. As esferas consideradas são geralmente de tamanho idêntico, e o espaço geralmente é espaço euclidiano tridimensional. No entanto, os problemas de embalagem da esfera podem ser generalizados para considerar as esferas desiguais, o espaço euclidiano n-dimensional (onde o problema se torna embalagem em círculo em duas dimensões, ou embalagem de hiperesfera em dimensões superiores) ou para espaços não-euclidianos, como o espaço hiperbólico.
Uma tesselagem de uma superfície plana é a telha de um avião usando uma ou mais formas geométricas, chamadas telhas, sem sobreposições e sem lacunas. Em matemática, as tesselagens podem ser generalizadas para maiores dimensões.
Tópicos específicos nesta área incluem:
- Embalagens de círculo
- Embalagens de esfera
- Conjetura de Kepler
- Quasicristais
- Tábuas aperiódicas
- Gráfico periódico
- Regras de subdivisão finita
Estrutura estrutural e flexibilidade
[editar | editar código-fonte]A rigidez estrutural é uma teoria combinatória para prever a flexibilidade de conjuntos formados por corpos rígidos conectados por ligações flexíveis ou dobradiças.
Os tópicos nesta área incluem:
- Teorema de Cauchy
- Poliedros flexíveis
Estruturas de incidência
[editar | editar código-fonte]As estruturas de incidência generalizam planos (como planos afins, projetivos e möbius), como pode ser visto a partir de suas definições axiomáticas. As estruturas de incidência também generalizam os análogos de maior dimensão e as estruturas finitas às vezes são chamadas de geometrias finitas.
Formalmente, uma estrutura de incidência é um triplo
Onde P é um conjunto de "pontos", L é um conjunto de "linhas" e é a relação de incidência. Os elementos de são chamados de bandeiras. E se
Nós dizemos que o ponto p "está na" linha .
Os tópicos nesta área incluem:
- Configurações
- Arranjos de linha
- Arranjos Hyperplane
- Edifícios
Matroids orientados
[editar | editar código-fonte]Um matroid orientado é uma estrutura matemática que abstrai as propriedades de gráficos direcionados e de arranjos de vetores em um espaço vetorial em um campo ordenado (particularmente para espaços vetoriais parcialmente ordenados).[8] Em comparação, um matróide comum (ou seja, não orientado) abstrai as propriedades de dependência que são comuns tanto aos gráficos, que não são necessariamente direcionados, quanto a arranjos de vetores sobre campos, que não são necessariamente ordenados.[9]
Teoria do gráfico geométrico
[editar | editar código-fonte]Um gráfico geométrico é um gráfico em que os vértices ou bordas estão associados a objetos geométricos. Exemplos incluem gráficos euclidianos, o 1 esqueleto de um poliedro ou politropo, gráficos de interseção e gráficos de visibilidade.
Os tópicos nesta área incluem:
- Desenho de gráfico
- Gráficos politécnicos
- Diagramas de Voronoy e triangulações de Delaunay
Complementos simplicais
[editar | editar código-fonte]Um complexo simplicial é um espaço topológico de um certo tipo, construído por pontos "colagem em conjunto", segmentos de linha, triângulos e suas contrapartes n-dimensionais (ver ilustração). Os complexos simplicais não devem ser confundidos com a noção mais abstrata de um conjunto simplicial que aparece na teoria da homotopia simplicial moderna. A contrapartida puramente combinatória de um complexo simplicial é um complexo simplicial abstrato.
Combinação topológica
[editar | editar código-fonte]A disciplina de topologia combinatória usou conceitos combinatórios em topologia e no início do século 20 isso se transformou em campo de topologia algébrica.
Em 1978, a situação foi revertida - os métodos da topologia algébrica foram usados para resolver um problema na combinatória - quando László Lovász provou a conjectura de Kneser, iniciando assim o novo estudo da combinatória topológica. A prova de Lovász usou o teorema de Borsuk-Ulam e este teorema mantém um papel proeminente neste novo campo. Este teorema tem muitas versões e análises equivalentes e tem sido utilizado no estudo de problemas de divisão justa.
Os tópicos nesta área incluem:
- O lema de Sperner
- Mapas regulares
Grades e grupos discretos
[editar | editar código-fonte]Um grupo discreto é um grupo G equipado com a topologia discreta. Com esta topologia, G torna-se um grupo topológico. Um subgrupo discreto de um grupo topológico G é um subgrupo H cuja topologia relativa é discreta. Por exemplo, os números inteiros, Z, formam um subgrupo discreto dos reais, R (com a topologia métrica padrão), mas os números racionais, Q, não.
Uma rede em um grupo topológico localmente compacto é um subgrupo discreto com a propriedade de que o espaço quociente possui uma medida invariante finita. No caso especial de subgrupos de Rn, isso equivale à noção geométrica usual de uma rede, e tanto a estrutura algébrica das redes como a geometria da totalidade de todas as redes são relativamente bem compreendidas. Os resultados profundos de Borel, Harish-Chandra, Mostow, Tamagawa, S. Raghunathan, Margulis, Zimmer, obtidos a partir da década de 1950, na década de 1970, forneceram exemplos e generalizaram grande parte da teoria para o estabelecimento de grupos de Lie nilpotentes e grupos algébricos semisimples em um campo local. Na década de 1990, Bass e Lubotzky iniciaram o estudo das redes de árvores, que permanecem uma área de pesquisa ativa.
Os tópicos nesta área incluem:
- Grupos de reflexão
- Grupos triangulares
Geometria digital
[editar | editar código-fonte]A geometria digital trata de conjuntos discretos (geralmente conjuntos de pontos discretos) considerados modelos digitalizados ou imagens de objetos do espaço euclidiano 2D ou 3D.
Simplificando, a digitalização está substituindo um objeto por um conjunto discreto de seus pontos. As imagens que vemos na tela da TV, a exibição em quadriculação de um computador ou nos jornais são de fato imagens digitais.
Suas principais áreas de aplicação são a computação gráfica e análise de imagens.[10]
Geometria diferencial discreta
[editar | editar código-fonte]A geometria diferencial discreta é o estudo de contrapartes discretas de noções em geometria diferencial. Em vez de curvas e superfícies lisas, existem polígonos, malhas e complexos simpliciais. É utilizado no estudo de computação gráfica e combinatória topológica.
Os tópicos nesta área incluem:
- Operador discreto de Laplace
- Cálculo exterior discreto
- Teoria Morse discreta
- Combinação topológica
- Análise de forma espectral
- Geometria diferencial abstrata
- Análise em fractals
Veja também
[editar | editar código-fonte]Referências
- ↑ 1941-, Kuperberg, W. (Włodzimierz),; 1956-, Bezdek, András, (2003). Discrete geometry : in honor of W. Kuperberg's 60th birthday. New York: Marcel Dekker. ISBN 0824709683. OCLC 51768758
- ↑ János., Pach, (1995). Combinatorial geometry. New York: Wiley. ISBN 0471588903. OCLC 31754167
- ↑ Károly., Bezdek,; 1966-, Deza, Antoine,; Yinyu., Ye, (2013). Discrete geometry and optimization. New York: Springer. ISBN 9783319002002. OCLC 853447874
- ↑ Pach, János; et al. (2008), Intuitive Geometry, in Memoriam László Fejes Tóth, Alfréd Rényi Institute of Mathematics
- ↑ Katona, G. O. H. (2005), «Laszlo Fejes Toth – Obituary», Studia Scientiarum Mathematicarum Hungarica, 42 (2)
- ↑ János., Horváth, (2006). A panorama of Hungarian mathematics in the twentieth century I. Heidelberg: Springer-Verlag. ISBN 9783540307211. OCLC 649394701
- ↑ Károly., Bezdek, (2010). Classical topics in discrete geometry. New York: Springer. ISBN 9781441905994. OCLC 436031056
- ↑ Rockafellar 1969. Björner et alia, Chapters 1-3. Bokowski, Chapter 1. Ziegler, Chapter 7.
- ↑ Björner et alia, Chapters 1-3. Bokowski, Chapters 1-4.
- ↑ See Li Chen, Digital and discrete geometry: Theory and Algorithms, Springer, 2014.
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