Usuário(a):Emsantos/Potenciais de Liénard-Wiechert
Este verbete é parte da disciplina Eletromagnetismo II (Edivaldo Moura Santos) na Universidade Federal do Rio de Janeiro apoiado pelo projeto Wikipédia na Universidade e pelos embaixadores da Wikipédia durante o Segundo semestre de 2012. |
Os potenciais de Liènard-Wiechert são a descrição matemática clássica dos potencial elétrico e potencial vetor (ou vetor potencial) de uma carga pontual em movimento. Sua derivação se origina das equações de Maxwell e portanto não é válida no domínio da mecânica quântica.
Potenciais retardados[editar | editar código-fonte]
Pode-se fazer cálculo para determinar os potenciais gerados por uma distribuição qualquer de cargas no espaço, i.e. densidade de carga (fontes de campo elétrico) e densidade de corrente elétrica (fontes de campo magnético), dependentes do tempo. Nesta demonstração, chegamos a conclusão de que os potenciais gerados por uma distribuição dependente do tempo, em um ponto r, num instante de tempo t dependem desta distribuição num instante anterior que é denominado na literatura de tempo retardado. Escrevemos para o potencial elétrico:
Aqui, é a densidade de cargas avaliada no tempo retardado e é posição das cargas. O tempo retardado é definido como:
Ou seja, o tempo retardado é devido a um tempo de propagação finito com velocidade c (velocidade da luz), e é o tempo que o sinal levou para se propagar até o ponto . Note que deve ser avaliado no tempo retardo também. Analogamente, podemos escrever para o potencial vetor magnético:
Onde é densidade volumétrica de corrente. É possível particularizar para os casos em 1 e 2 dimensões. Estes são os chamados potenciais retardados de uma distribuição de cargas e correntes.
Demonstração dos potenciais de Liènard-Wiechert[editar | editar código-fonte]
Estamos em condições de deduzir os potenciais de Liènard-Wiechert para uma carga pontual q em movimento, partindo dos potenciais retardados. O problema se torna muito simples com o uso da função delta de Dirac (), que tem a seguinte propriedade:
Primeiramente, vamos utilizar estas ideias para escrever a densidade de cargas no instante .
Sendo a carga na posição , escrevemos a densidade de cargas na forma:
Inserindo estas definições na integral para o potencial elétrico, obtemos:
As funções Delta nos permite eliminar as integrais e após alguns passos não triviais, obtemos:
Demonstração |
---|
Note que a posição da carga agora é função de (e não do tempo retardado) e portanto não podemos simplesmente eliminar a integral temporal a partir das propriedades da função delta: o tempo retardado depende implicitamente de . Para ficar mais claro, seja uma função definida como segue: Devemos colocar a integral na forma: Onde h é uma função qualquer e é um valor que anula a função . Na integral do pontecial elétrico, fazemos: Aqui, já realizamos trivialmente a integral espacial. Obtém-se para a derivada: E, temos que: Ficamos com: A integral agora é trivial e notando que , obtemos corretamente o potencial elétrico de Lienard-Wiechert: Como queríamos demonstrar. Agora a posição da carga é avaliada no tempo retardado.
|
Onde é a velocidade da partícula e definida como . Obtemos assim o potencial elétrico para uma carga pontual. Este é um dos potenciais de Liènard-Wiechert. O potencial vetor pode ser deduzido de maneira análoga, notando que este pode ser escrito na forma:
Adotando os mesmos passos, obtemos:
A dedução dos potenciais está completa. Podemos fazer uma relação bem simples entre os dois:
Lembrando que e devem ser avaliados no tempo retardado. Escrito desta forma, fica evidente que o potencial vetor tem a mesma direção da velocidade da partícula.
Campos gerados por cargas pontuais em movimento[editar | editar código-fonte]
Os campos gerados por cargas pontuais em movimentos podem ser demonstrados a partir dos potenciais obtidos. Escreve-se os campos em função dos potenciais como segue:
Substituindo os potenciais obtidos nestas equações é possível encontrar uma expressão para os campos derivados dos potenciais.
Referências
[1] D. Griffiths, Introduction to Electrodynamics;
[2] John R. Reitz, Foudantions of Electromagnetism;
[3] Melvin Schwartz, Principles of Electrodynamics;